Когато се прилага методът с най-малките квадрати

Методът на най-малките квадрати (OLS) позволява да се изчислят различни количества, като се използват резултатите от набор от измервания, съдържащи случайни грешки.

Характеристика на OLS

Основната идея на този метод е, че като критерий за точността на решаването на проблема се взема предвид сумата от квадратните грешки, която се стреми да бъде сведена до минимум. Използвайки този метод, можете да приложите както цифров, така и аналитичен подход.

По-специално, като числено изпълнение, методът на най-малките квадрати включва осъществяването на колкото е възможно повече размери на неизвестна произволна променлива. Освен това, колкото повече изчисления, толкова по-точно решение. На този набор от изчисления (първоначални данни) се получава друг набор от приети решения, от които се избира най-добрият. Ако наборът от решения е параметризиран, тогава методът на най-малките квадрати се намалява до намирането на оптималната стойност на параметрите.

Като аналитичен подход към внедряването на OLS на набор от първоначални данни (размери) и предполагаемия набор от решения, някои функционална зависимост (функционална), която може да бъде изразена чрез формула, получена като хипотеза, която изисква потвърждение. В този случай методът на най-малките квадрати намалява до намирането на минимума от тази функционалност на набор от квадратни грешки на оригиналните данни.

Имайте предвид, че не самите грешки, а квадратите на грешките. Защо? Факт е, че често отклоненията на измерванията от точните стойности са положителни и отрицателни. При определяне на средната стойност грешки при измерването простото сумиране може да доведе до неправилно заключение за качеството на прогнозата, тъй като взаимното унищожаване на положителните и отрицателните стойности ще намали мощността на пробата от комплекта измервания. И, следователно, точността на оценката.

За да се случи това, и да обобщим квадратите на отклоненията. Още повече, за да се изравни размерът на измереното количество и крайната оценка, от сумата от квадратните грешки, квадратен корен.

Някои MNC приложения

MNC се използва широко в различни области. Например, в теорията на вероятностите и математическата статистика, методът се използва за определяне на характеристиката на произволна променлива, като стандартното отклонение, което определя ширината на диапазона от стойности на произволна променлива.

В математически анализ и различни полета на физиката, които използват тази апаратура за извличане или потвърждаване на хипотези, OLS се използват по-специално за оценка на приблизителното представяне на функциите, дефинирани върху числовите групи, чрез опростени функции, допускащи аналитични трансформации.

Друго приложение на този метод е отделянето на полезния сигнал от шума, наложен върху него при проблеми при филтриране.

Друга област на приложение на MNC е иконометрията. Тук този метод е толкова широко използван, че за него са идентифицирани някои специални модификации.

Повечето от проблемите на иконометрията, по един или друг начин, намаляват до решаването на системи от линейни иконометрични уравнения, описващи поведението на определени системи - структурни модели. Основният елемент на всеки такъв модел е времевата серия, която е съвкупност от някои характеристики, чиито стойности зависят от времето, както и от редица други фактори. В този случай може да има съответствие между вътрешните (ендогенни) характеристики на модела и външните (екзогенни) характеристики. Тази кореспонденция обикновено се изразява във формата на системи от линейни икономически уравнения.

Характерна черта на такива системи е наличието на взаимовръзки между отделните променливи, които, от една страна, усложняват това, а от друга - предефинират. Каква е причината за несигурността при избора на решение на такива системи. Допълнителен фактор, усложняващ решаването на такива проблеми, е зависимостта на параметрите на модела във времето.

Основната цел на проблемите на иконометрията е идентифицирането на моделите, т.е. определянето на структурните връзки в избрания модел, както и оценката на редица параметри.

Възстановяването на зависимостите в времевите редове, съставящи модела, може да се осъществи, по-специално с помощта на директните OLS и някои от неговите модификации, както и редица други методи. Специалните модификации на МНК при решаването на такива проблеми са специално разработени за решаване на определени проблеми, възникнали в процеса на числено решаване на системи от уравнения.

По-специално, един от тези проблеми е свързан с наличието на първоначални ограничения на параметрите, които трябва да бъдат оценени. Например доходите на частно предприятие могат да бъдат изразходвани за потребление или за неговото развитие. Следователно сумата от частите на тези два вида разходи е известна като 1. В една система от иконометрични уравнения тези части могат да влизат независимо един от друг. Поради това е възможно да се изчислят различните видове разходи, като се използва OLS, без да се вземе предвид първоначалното ограничение, и след това да се коригира полученият резултат. Този метод за решение се нарича методът на непрякото използване на най-малките квадрати.

Непряк метод на най-малките квадрати (CIOC) се използва за изрично определен структурен модел. Алгоритъмът KIOC приема следните действия:

1) трансформиране на структурния модел в по-проста, намалена форма чрез въвеждане на допълнителна връзка;

2) оценка с помощта на обичайните OLS на намалените коефициенти за всяко уравнение на опростения модел;

3) получените коефициенти на простата форма на модела се трансформират в параметри на първоначалния структурен модел.

Следва да се отбележи, че за суперфиксираните системи KMNCs не се използват, тъй като в този случай е невъзможно да се определят недвусмислени оценки на параметрите на структурния модел. За такива модели може да се използва още една модификация на най-малките квадрати: двустепенен метод на най-малките квадрати (KDOM).

Алгоритъмът на DMNK е, както следва:

1) въз основа на опростен модел, изчисляваме за суперфиксираното уравнение стойностите на вътрешните променливи, които се съдържат в дясната страна на уравнението;

2) заместват получените стойности на променливите на мястото на съответните действителни променливи в първоначалния модел и отново прилагат конвенционалните най-малки квадрати.

Подробно описание на косвените и двуетапни методи на най-малките квадрати е дадено в много учебници по иконометрия. Особеността на тези методи, както и на обичайните OLS, е тяхната универсалност, която им позволява да се използват за оценка на коефициентите на всеки структурен модел във всяка една домейн.