Геометрична прогресия. Пример с разтвор

Ние разглеждаме определена серия.

7 28 112 448 1792 ...

Ясно е, че стойността на всеки от елементите му е четири пъти по-голяма от предишната. Следователно тази серия е прогресия.

Геометричната прогресия е безкрайна последователност от числа, чиято основна черта е, че следващото число се получава от предишния, като се умножи с определен брой. Това се изразява чрез следната формула.

а_Z+1= a_Zmiddot-q, където z е номерът на избрания елемент.

Съответно, z isin- Н.

Периодът, в който геометричната прогресия се изучава в училище, е степен 9. Примерите ще ви помогнат да разберете понятието:

0.25 0.125 0.0625 ...

18 6 2 ...

Изхождайки от тази формула, знаменателят на прогресията може да се намери, както следва:

Нито q, нито b_Z не може да бъде нула. Също така, всеки от елементите серия от номера прогресията не трябва да бъде нула.

Съответно, за да намерим следващия номер от поредицата, трябва да умножим последния с q.

За да уточните тази прогресия, трябва да посочите нейния първи елемент и знаменател. След това е възможно да се намери някой от следващите членове и тяхната сума.

вид

В зависимост от q и a₁ тази прогресия е разделена на няколко типа:

• Ако а₁, и q е по-голямо от едно, тогава такава последователност е геометрична прогресия, увеличаваща се с всеки следващ елемент. Пример за това е представен по-долу.

Пример: a₁= 3, q ​​= 2 - и двата параметъра са по-големи от един.

След това цифровата последователност може да бъде написана като:

3 6 12 24 48 ...

• Ако | q | по-малко от едно, т.е. умножение от него е еквивалентно на разделение, тогава прогресия с подобни условия е намаляваща геометрична прогресия. Пример за това е представен по-долу.

Пример: a₁= 6, q = 1/3 - а₁ повече от един, q - по-малко.

Тогава цифровата последователност може да бъде написана така:

6 2 2/3 ... - всеки елемент е по-голям от следващия елемент, 3 пъти.

• Той се редува. Ако q<0, тогава знаците на последователните номера постоянно се редуват независимо от a₁, и елементите не се увеличават, нито намаляват.

Пример: a₁ = -3, q = -2 - и двата параметъра са по-малки от нула.

След това цифровата последователност може да бъде написана като:

-3, 6, -12, 24, ...

формула

За удобно използване на геометричните прогресии има много формули:

• Формулата на zth термина. Позволява ви да изчислите елемент, който е под определен номер без да изчислявате предишните числа.

например: р = 3, а₁ = 4. Необходимо е да се изчисли четвъртият елемент на прогресията.

решение: а₄ = 4 middot- 3^4-1= 4 middot-3³ = 4 middot- 27 = 108.

• Сумата от първите елементи, чийто брой еZ. Позволява ви да изчислите сумата на всички елементи от последователността преди а_Z включително.

Тъй като (1-р) е в знаменателя, след това (1 - q) ne-0, следователно q не е равна на 1.

Забележка: ако q = 1, прогресията ще бъде серия от безкрайно повтарящи се числа.

Сумата от геометричната прогресия, примери: а₁ = 2, р = -2. Изчислете S₅.

решение: S₅ = 22 - изчисление по формулата.

• Сумата, ако |р| < 1 и ако z има склонност към безкрайност.

например: а₁ = 2_, р = 0.5. Намерете сумата.

решение: S_Z = 2middot- = 4

Ако броиш сумата от няколко членове ръчно, можеш да видиш, че тя наистина има тенденция към четири.

S_Z = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Някои имоти:

• Характеристична собственост. Ако следното условиесе извършва за всяко Z, тогава дадената цифрова серия е геометрична прогресия:

а_Z²= а_Z-1middot- а_{z + 1}

• По подобен начин квадратът на който и да е брой геометрична прогресия се установява чрез добавяне на квадратите на други два числа в дадена серия, ако те са еднакво отдалечени от този елемент.

а_Z² = а_Z-т² + а_Z+т², където т - разстоянието между тези числа.

• елементи се различават в q време.
• Логаритмите на елементите на прогресията също така представляват прогресия, но вече аритметична, т.е. всяка от тях е по-голяма от предишната от определен брой.

Примери за някои класически проблеми

За да разберем по-добре каква е геометричната прогресия, примери с решение за клас 9 могат да помогнат.

• Общи условия: а₁ = 3, а₃ = 48. Намерете р.

Решение: всеки следващ елемент е по-голям от предишния рвреме. Необходимо е да изразим някои елементи чрез други, използвайки знаменателя.

Ето защо, а₃ = р²middot-а₁

При заместване р=4

• Общи условия: а₂ = 6, а₃ = 12. Изчислете S₆.

решение: Това е достатъчно, за да се намери р, първият елемент и заместител във формулата.

а₃ = рmiddot-а₂, Ето защо, р = 2

а₂ = qmiddot- на₁, следователноа₁ = 3

S₆ = 189

• middot- а₁ = 10, р = -2. Намерете четвъртия елемент на прогресията.

Решение: за това е достатъчно да се изрази четвъртият елемент през първия и чрез знаменателя.

а₄ = q³middot-а₁ = -80 ° С

Пример за кандидатстване:

• Клиентът на банката направи вноска в размер на 10 000 рубли, при условията на които всяка година на клиента до главницата ще бъдат добавени 6% от него. Колко пари ще бъдат в сметката след 4 години?

Решение: Първоначалната сума е 10 000 рубли. Следователно, една година след депозита, ще има сума, равна на 10 000 + 10 000middot-0.06 = 10000 middot-1.06

Съответно сумата по сметката за друга година ще бъде изразена както следва:

(10000 middot- 1.06) middot - 0,06 + 10,000 middot-1.06 = 1.06 middot-1.06 middot- 10000

Това означава, че всяка година сумата се увеличава с 1,06 пъти. Следователно, за да намерите номера на банковата сметка след 4 години, достатъчно е да се намери четвърти прогресия елемент, който е даден първият елемент в размер на 10 хиляди души, а знаменателят, равна на 1,06.

S = 1.06middot-1.06middot-1.06middot-1.06middot-10000 = 12625

Примери за задачи за изчисляване на сумата:

При различни проблеми се използва геометрична прогресия. Пример за намиране на сума може да бъде посочен, както следва:

а₁ = 4, р = 2, изчислете S₅.

Решение: всички данни, необходими за изчислението, са известни, просто трябва да ги замените във формулата.

S₅= 124

• а₂ = 6, а₃ = 18. Изчислете сумата от първите шест елемента.

решение:

В geom. прогресия, всеки следващ елемент е по-голям от предишния в q пъти, т.е., за да се изчисли сумата, е необходимо да се знае елементът а₁ и знаменателя р.

а₂middot-р = а₃

р = 3

По същия начин се изисква да се намери а₁, познаване а₂ и р.

а₁middot-р = а₂

а₁ = 2

И достатъчно, за да замени известните данни във формулата на сумата.

S₆= 728.