Как да докажете, че последователността се сближава? Основни свойства на конвергентните последователности

За много хора математическият анализ е само колекция от неразбираеми числа, значки и дефиниции, далеч от реалния живот. Въпреки това, в света, в която съществуваме, построен върху числови закономерности, което помага да се идентифицират не само да научат за света и за решаване на своите предизвикателства, но също така и да се опростят ежедневни практически проблеми. Какво означава математикът, когато казва, че числеността на последователността се сближава? Това трябва да бъде обсъдено по-подробно.

Какво е безкрайно?

Представете си, че матришоките, които са поставени един в друг. Размерите им, написани под формата на числа, започвайки с по-големия и завършващи с по-малките, формират последователност. Ако си представите безкраен брой такива ярки фигури, тогава получената серия ще бъде фантастично дълга. Това е конвергентна числена последователност. И тя е склонна към нула, тъй като размерът на всяка следваща кукла гнездо, катастрофално намалява, постепенно се превръща в нищо. По този начин е лесно да се обясни: това, което е безкрайно малък.

Подобен пример може да бъде път, който се простира на разстояние. И визуалните размери на автомобила, движещи се по него от наблюдателя, като постепенно се свиват, се превръщат в безформена пепел, която прилича на точка. По този начин машината, като предмет, отдалечаваща се в непозната посока, става безкрайно малка. Параметрите на това тяло никога няма да бъдат нула в буквалния смисъл на думата, но неизменно са склонни към тази стойност в крайната граница. Следователно тази последователност отново се превръща в нула.

Ние изчисляваме всичко по капка

Представете си сега светската ситуация. Лекарят, предписан да приеме лекарството, започва с десет капки на ден и добавя два пъти на всеки следващ ден. И така, докторът предложи да продължи, докато съдържанието на медикамента балон, чийто обем е 190 капки, изчерпване. От гореизложеното следва, че броят на такива, рисувани на дните, ще съставляват следващите номера: 10, 12, 14 и така нататък.

Как да разберете времето на целия курс и броя на членовете на последователността? Тук, разбира се, можете да преброите капките по един примитивен начин. Но това е много по-лесно, като се има предвид схемата, се използва формулата за сумата от аритметична прогресия със стъпка г = 2. И с използването на този метод, за да разберете, че броят на членовете на поредицата от цифри е равна на 10. В този случай, както и₁₀ = 28. Броят на членовете показва броя на дните на прием на лекарството и 28 съответства на броя на капките, които пациентът трябва да консумират в последния ден. Дали тази последователност се сближава? Не, защото, въпреки че е ограничен от по-долу с 10 и отгоре - 28, такава числена серия няма ограничения, за разлика от предишните примери.

Каква е разликата?

Нека сега да се опитаме да изясним: когато цифровата серия се окаже конвергентна последователност. Такава дефиниция, както може да се направи от горното, е пряко свързана с понятието ограничен лимит, чието присъствие разкрива същността на въпроса. И така, каква е основната разлика между споменатите по-горе примери? И защо в последния от тях числото 28 не може да се разглежда като граница на числената серия Х_п = 10 + 2 (п-1);

За да изясните този въпрос, помислете за друга последователност, дадена от формулата по-долу, където n принадлежи към набора от естествени числа.

Тази общност от членове е набор от обикновени фракции, чийто числител е 1, а знаменателят непрекъснато се увеличава: 1, frac12- ...

Нещо повече, всеки последователен представител на тази серия на мястото на номера на линията все повече и повече се приближава към 0. И това означава, че има квартал, където точките се отегчават около нула, което е границата. И колкото по-близо са до него, толкова по-близо се съсредоточава концентрацията им върху числото. И разстоянието между тях е драстично намалено, превръщайки се в безкрайна. Това е знак, че последователността се сближава.

По същия начин оцветените правоъгълници, изобразени на фигурата, когато са отстранени в пространството, са визуално по-сложни, като хипотетичната граница става незначителна.

Безкрайно големи последователности

След като анализирахме определението на конвергентна последователност, нека сега обърнем обратния пример. Много от тях са били известни на човека от древни времена. Най-простите варианти на различаващи се последователности са серии от естествени и четни номера. Те се наричат ​​безкрайно големи по друг начин, тъй като техните членове, постоянно нарастващи, все повече се приближават до положителна безкрайност.

Примери за такива могат да бъдат и всяка от аритметичните и геометрични прогресии със стъпка и знаменател, съответно, по-големи от нула. Различните последователности се разглеждат и като цифрови серии, които изобщо нямат ограничение. Например, X_п= (-2)^п-1.

Фибоначи последователност

Практическото използване на споменатите по-горе цифрови серии за човечеството е безспорно. Но има и много други прекрасни примери. Една от тях е последователността на Фибоначи. Всеки от членовете, който започва с единица, е сумата от предишните. Първите два от неговите представители са 1 и 1. Третият 1 + 1 = 2, четвъртият 1 + 2 = 3, петият 2 + 3 = 5. Освен това, според същата логика, номерата 8, 13, 21 и така нататък следват.

Този брой номера се увеличава без ограничение и няма крайна граница. Но има още една забележителна собственост. Съотношението на всеки към следващата предишния брой все по-близо в стойността си до 0, 618. Възможно е да се изясни разликата между сходни и разминаващи се последователности, защото, ако броят на запис на получения коефициент на, заяви цифрова система ще има краен срок, равен на 0,618.

Последователност на коефициентите на Фибоначи

Горепосочените цифрови серии се използват широко за практически цели за технически анализ на пазарите. Но това не се ограничава до възможностите, които египтяните и гърците са знаели и биха могли да прилагат на практика в древни времена. Това се доказва от пирамидите и Партенона, построен от тях. Всъщност числото 0, 618 е постоянен коефициент на познатата стара златна секция. Съгласно това правило всеки произволен сегмент може да бъде разделен така, че съотношението между неговите части да съвпадне със съотношението между по-големия от сегментите и общата дължина.

Ние изграждаме редица от тези отношения и се опитваме да анализираме тази последователност. Числените серии се получават, както следва: 1- 0.5-0.67-0.6-0.625-0.615-0.619 и така нататък. Продължавайки, можем да се уверим, че границата на конвергентната последователност е наистина 0.618. Необходимо е обаче да се отбележат и други свойства на този модел. Тук цифрите сякаш се разпадат, а не в реда на увеличаване или намаляване. Това означава, че тази конвергентна последователност не е монотонна. Защо това е начинът да продължим нататък.

Монотонност и ограничение

Членовете на цифровата серия с увеличение на броя могат ясно да намалеят (ако x₁х₂х₃hellip-> x_пhellip-) или увеличение (ако x₁₂₃п1Ge-х₂Ge-х₃Ge-hellip-Ge-х_пge-hellip- или x₁ле-х₂ле-х₃ле-hellip-ле-х_пle-hellip-), тогава конвергентната последователност е монотонен също така, но не в строгия смисъл. Добър пример за първата от тези опции е цифровата серия, дадена по следната формула.

След като сте написали номера на дадена серия, можете да забележите, че всеки от нейните членове, приближаващ 1 без ограничение, никога няма да надвиши тази стойност. В този случай човек говори за обвързаността на конвергентната последователност. Това се случва винаги, когато има положително число М, което винаги е по-голямо от което и да е от термините на серията в абсолютна стойност. Ако цифровата серия има монотонност и има граница и следователно конвергира, тогава задължително има това свойство. И обратното не е необходимо да е вярно. Това се указва от теоремата за границата на конвергентна последователност.

Използването на такива наблюдения на практика е много полезно. Даваме конкретен пример, като изследваме свойствата на последователността X_п = n / n + 1 и докажете нейната конвергенция. Фактът, че е монотонен, е лесен за показване, тъй като (х_п+1 - х_п) е положително число за всички стойности на n. Границата на последователността е равна на числото 1, което означава, че всички условия на горната теорема, наричана още теорема на Weierstrass, са изпълнени. Теоремата за границата на конвергентна последователност твърди, че ако има граница, тогава във всеки случай тя е ограничена. Въпреки това даваме следния пример. Серия от номера X_п = (-1)^п се ограничава от по-долу с -1 и от по-горе 1. Но тази последователност не е монотонен, няма ограничение и следователно не се слива. Това означава, че ограничеността не винаги означава съществуването на граница и конвергенция. За да направите това, е необходимо да съответствате на горната и долната граница, както при коефициентите Fibonacci.

Номерата и законите на Вселената

Най-простите варианти на конвергентна и различна последователност са може би числената серия X_п = п и Х_п = 1 / n. Първата от тях е естествена серия от номера. Както вече споменахме, това е безкрайно голямо. Втората конвергентна последователност е ограничена, а нейните термини в мащаб приближават безкрайно малко. Всяка от тези формули олицетворява една от страните на многообразна Вселена, помагайки на човек на езика на фигурите и знаците да си представи и изчисли нещо непознато, недостъпно за ограниченото възприятие.

Законите на Вселената, като се започне от незначителен и завършва с изключително голям, също така изразява златното съотношение 0.618. Учените вярват, че те са поставени в основата на същността на нещата и се използват от природата, за да формират своите части. Вече споменах по-рано връзка между последващите и предишни членове на серията на Фибоначи, не изпълните тази демонстрация на удивителните свойства на тази уникална серия. Ако говорим за отношението на предишния елемент в следващите по един, ще получим няколко между 0,5 и 0, 33- 0.4- 0,375- 0,384- 0,380- 0382 и така нататък. Интересното е, че тази ограничена последователност клони, не е монотонен, но отношението на определени членове на екстремните съседни числа винаги се оказва приблизително 0382, което също може да се използва в областта на архитектурата, технически анализ и други индустрии.

Съществуват и други интересни коефициенти от поредицата "Фибоначи", всички те играят специална роля в природата и също се използват от човека за практически цели. Математиците са сигурни, че вселената се развива в съответствие с някаква "златна спирала", формирана от тези коефициенти. С тяхна помощ е възможно да се изчислят много феномени, настъпващи на Земята и в космоса, като се започне с нарастването на броя на някои бактерии и завършва с движението на далечни комети. Подобен код се подчинява, както се оказва, на ДНК-кода.

Намаляваща геометрична прогресия

Съществува теорема, утвърждаваща уникалността на границата на конвергентна последователност. Това означава, че тя не може да има две или повече граници, което несъмнено е важно за намирането на нейните математически характеристики.

Нека разгледаме някои случаи. Всяка серия от числа, съставена от членове на аритметична прогресия, е различна, с изключение на случай с нулева стъпка. Същото се отнася до геометрична прогресия, чийто знаменател е по-голям от 1. Ограниченията на такива числени серии са "плюс" или "минус" на безкрайността. Ако знаменателят е по-малък от -1, няма ограничения изобщо. Има и други опции.

Помислете за цифровата серия, дадена по формулата X_п = (1/4)^п-1. На пръв поглед е лесно да се разбере, че тази конвергентна последователност е ограничена, защото тя е строго намаляваща и в никакъв случай не е в състояние да приеме отрицателни стойности.

Нека да напишем определен брой термини в ред.

Оказва се, че: 1 - 0.25 - 0.0625 - 0.015625 - 0.00390625 и така нататък. Достатъчни са изчисленията, за да се разбере колко бързо дадена геометрична прогресия от знаменателите на 0<1 уменьшается. В то время как знаменатель членов неограниченно возрастает, сами они превращаются в бесконечно малое. Это значит, что предел числового ряда равен 0. Данный пример ещё раз демонстрирует ограниченность сходящейся последовательности.

Основни последователности

Auguste Louis Cauchy, френски учен, показа на света много произведения, свързани с математически анализ. Той даде определения на такива понятия като диференциала, интеграл, лимит и приемственост. Той също така изследва основните свойства на конвергентните последователности. За да разберем същността на неговите идеи, е необходимо да обобщим някои важни подробности.

В самото начало на статията е показано, че съществуват последователности, за които съществува квартал, където точките, представляващи членовете на определена серия на цифрова линия, започват да бъдат затънали, обличайки всички по-плътни. В същото време разстоянието между тях се увеличава, като броят на следващия представител се увеличава и става безкрайно малък. По този начин се оказва, че неограничен брой представители на дадена поредица са групирани в даден квартал, докато има ограничен брой представители на дадената серия. Такива последователности се наричат ​​фундаментални.

Известният критерий Cauchy, създаден от френския математик, недвусмислено показва, че съществуването на такова свойство е достатъчно, за да докаже, че последователността се сближава. Обратното също е вярно.

Трябва да се отбележи, че това заключение на френския математик е в по-голямата си част чисто теоретичен интерес. Прилагането му на практика се счита за доста сложно, за да се определи конвергенцията на сериите, много по-важно е да се докаже съществуването на последователност от ограничени граници. В противен случай тя се счита за различна.

При решаването на проблемите трябва да се вземат предвид и основните свойства на конвергентните последователности. Те са представени по-долу.

Неопределени суми

Такива известни учени от древността, като Архимед, Евклид, Евдокс, са използвали сумите от безкрайни цифрови серии, за да изчислят дължините на кривите, обемите на тялото и областите на фигурите. По-специално, по този начин успяхме да открием областта на параболичния сегмент. За тази цел се използва сумата от цифровата серия на геометрична прогресия с q = 1/4. По подобен начин имаше обеми и области от други произволни форми. Тази опция беше наречена метод "изтощение". Идеята е, че изследваният комплекс във формата на тялото е разделен на части, които са фигури с лесно измерими параметри. По тази причина не беше трудно да се изчислят областите и обемите им, а след това се формираха.

Между другото, подобни задачи са много познати на съвременните ученици и се намират в задачите на USE. Уникалният начин, открит от далечните предци, днес е най-простата версия на решението. Дори ако частите, на които е разделена цифровата фигура, само две или три, добавянето на техните участъци все още представлява сумата от номерата.

Много по-късно древните гръцки учени Лайбниц и Нютон, въз основа на опита на мъдрите предшественици, научили законите на интегралното изчисление. Познаването на свойствата на последователностите им помогна да решат диференциални и алгебрични уравнения. Понастоящем теорията на сериите, създадена от усилията на много поколения талантливи учени, дава шанс да се реши огромен брой математически и практически проблеми. А изучаването на числени последователности е основната задача, решена от математическия анализ от момента на неговото създаване.