Геометрична прогресия и нейните свойства

Геометричната прогресия е важна в математиката като наука и в прилаганото значение, тъй като тя има изключително широк обхват, дори и в по-висока математика, да речем, в теорията на поредицата. Първата информация за прогресиите ни достига от древния Египет, по-специално под формата на известна задача от папируса на Rhind за седем души, имащи седем котки. Вариациите на тази задача се повтарят многократно в различно време в други народи. Дори великият Леонардо от Пиза, по-известен като Фибоначи (XIII в.), Се обърна към нея в своята "Книга на абката".

Така че геометричната прогресия има древна история. Той представлява цифрова последователност с ненулева първи член, и всяка следваща, започвайки с втората се определя чрез умножаване на предишния повторение формула при постоянна, ненулева номер, който се нарича знаменател прогресия (обикновено означен като се използва писмо Q).
Очевидно може да се намери, като се разделят всеки последователен член на последователността от предишната, т.е. z 2: z 1 = ... = z n: z n-1 = .... Следователно, за да се определи прогресията (zn), е достатъчно стойността на първия й термин y 1 и знаменател q да е известна.

Например, приемете, че z 1 = 7, q = - 4 (q < 0), тогава се получава следната геометрична прогресия: 7, - 28, 112, - 448, .... Както виждаме, получената последователност не е монотонен.

Спомнете си, че произволна последователност е монотонна (увеличаваща / намаляваща), когато всеки от нейните последователни термини е по-голям от / по-малък от предишния. Например, последователности 2, 5, 9, ... и -10, -100, -1000, ... са монотонни, втората от които е намаляваща геометрична прогресия.

В случай, когато q = 1, в прогресията всички термини са равни и се наричат ​​константни.

За да бъде поредицата прогресия от този тип, тя трябва да удовлетвори следното необходимо и достатъчно условие, а именно: като се започне от втория, всеки от неговите членове трябва да бъде средната геометрична стойност на съседните термини.

Тази собственост ни позволява да намерим произволен срок на прогресията за две известни близки.

Н-тият термин на геометричната прогресия се установява лесно от формулата: z n = z 1 * q ^ (n-1), познавайки първия термин z 1 и знаменателя q.

Тъй като цифрова последователност има сума, няколко прости изчисления ще ни дадат формула, която ни позволява да изчислим сумата от първите условия на прогресията, а именно:

S n = - (zn * q - z 1) / (1 - q).

Замяната на стойността на zn във формулата чрез нейния израз z 1 * q ^ (n-1), получаваме втората формула на сумата от тази прогресия: S n = - z1 * (q ^ n-1) / (1 - q).

Заслужаващо внимание е следният интересен факт: глинена таблетка, открита по време на разкопки Древен Вавилон, който датира от VI. Пр.н.е., забележително съдържа сумата от 1 + 2 + 22 + ... + 29, равна на 2 в десета степен минус 1. Решението на този феномен все още не е намерено.

Отбелязваме още едно свойство на геометричната прогресия - постоянния продукт на неговите термини, разположен на еднакво разстояние от краищата на последователността.

Особено важно от научна гледна точка е понятието за безкрайна геометрична прогресия и изчисляването на нейната сума. Приемайки, че (y n) е геометрична прогресия, имаща знаменател q, отговарящ на условието | q |< 1, тогава неговата сума е границата, към която прилича сумата от първите му термини, която ни е известна, с неограничено увеличение в n, тоест, когато се приближава към безкрайността.

Намерете тази сума в края с помощта на формулата:

S n = y 1 / (1 - q).

И, както показва практиката, зад очевидната простота на тази прогресия се крие огромен потенциален потенциал. Например, ако изградим поредица от квадрати със следния алгоритъм, свързващ средните точки на страните на предишния, тогава техните участъци формират безкрайна геометрична прогресия, имаща знаменател 1/2. Същата прогресия се формира от областта на триъгълниците, които се получават на всеки етап от строителството и сумата му е равна на площта на оригиналния квадрат.