Аритметична прогресия

Проблеми с аритметичната прогресия вече са съществували в древни времена. Те се появиха и поискаха решения, защото имаха практическа нужда.

Например, в един от папирусите от древен Египет, като математическа съдържание, - на папирус Ринд (XIX век пр.н.е.) - съдържа този проблем: в раздели десет мерки за зърно в продължение на десет души, при условие, ако разликата между всеки един от тях е една осма от мерките ".

И в математическите произведения на древните гърци има елегантни теореми, свързани с аритметичната прогресия. По този начин, Александрия цикле (II век пр.н.е.) в размер на много интересни задачи и добави четиринадесет книги за "началото" на Евклид, която е формулирана идеята: "В аритметична прогресия като четен брой членове, размерът на членовете на втората половина повече от сбора на първите членове на кратно на до квадрата 1/2 от броя на термините. "

Вземаме произволна серия естествени номера (по-голяма от нула): 1, 4, 7, хелип-п-1, п, hellip-, което се нарича цифрова последователност.

Обозначава последователността a. Номерата на последователността се наричат ​​нейните членове и обикновено се обозначават с букви с индекси, които показват координатния номер на този член (a1, a2, a3 hellip- се чете: "1-во", "2-ра", "3-ин" и т.н.).

Последователността може да бъде безкраен или краен.

И какво е аритметична прогресия? Под него разбират поредица от номера, получени чрез добавяне на предишния термин (n) със същото число d, което е разликата в прогресията.

Ако d<0, тогава имаме намаляваща прогресия. Ако d> 0, тогава подобна прогресия се счита за нарастваща.

Аритметичната прогресия се смята за ограничена, ако се вземат предвид само няколко от нейните първи понятия. С много голям брой членове това е безкрайна прогресия.

Всяка аритметична прогресия се дава чрез следната формула:

a = kn + b, като b и k са някои числа.

Изявлението, което е обратното, е абсолютно вярно: ако една последователност се дава от подобна формула, тогава това е точно аритметична прогресия, която има свойствата:

1. Всеки член на прогресията е аритметичната средна стойност на предходния и следващия.
2. Обратно, ако, започвайки с втория, всеки термин е аритметичната средна стойност на предходния и следващия, т.е. ако условието е изпълнено, тогава тази последователност е аритметична прогресия. Това равенство също е знак за прогресия, следователно, като правило, то се нарича характерно свойство на прогресията.
   Подобно, теоремата, която отразява това свойство, е вярна: последователността е аритметична прогресия само ако това равенство е вярно за който и да е от термините на последователността, като се започне с втората.

Характерната характеристика на всеки четири номера на аритметична прогресия може да бъде изразена чрез формулата a + am = ak + al, ако n + m = k + l (m, n, k са числата на прогресията).

При аритметична прогресия може да се намери всеки необходим (N-ти) термин, като се приложи следната формула:

а = а1 + d (п-1).

Например: първият термин (а1) в аритметичната прогресия е даден и равен на три, а разликата (d) е равна на четири. Намерете четиридесет и петия член на тази прогресия. а45 = 1 + 4 (45-1) = 177

Формулата an = ak + d (n - k) ни позволява да определим новия мандат на аритметичната прогресия чрез който и да е от нейните k-ти термини, при условие че е известна.

Сумата от термините на аритметичната прогресия (означаваме първите n термини на крайната прогресия) се изчислява, както следва:

Sn = (al + an) n / 2.

Ако разликата между аритметичната прогресия и първия мандат е известна, тогава друга формула е удобна за изчисляване:

Sn = ((2а1 + d (n-1)) / 2) * n.

Сумата на аритметичната прогресия, която съдържа n термини, се изчислява по следния начин:

Sn = (a1 + an) * n / 2.

Изборът на формули за изчисления зависи от условията на задачите и първоначалните данни.

Естествената серия от числа, като 1,2,3, ..., n, ... е най-простият пример за аритметична прогресия.

В допълнение към аритметичната прогресия има и геометрична прогресия, която има своите свойства и характеристики.