Математическото очакване и вариация на произволна променлива

Теорията на вероятността е специален клон на математиката, който се изучава само от студенти от висши учебни заведения. Харесва ли ви изчисленията и формулите? Не се страхувайте да проучи перспективите за нормално разпределение, ентропията на ансамбъла означава и дисперсия дискретна случайна променлива? Тогава тази тема ще ви бъде много интересна. Да се ​​запознаем с няколко важни основни понятия в тази научна секция.

Нека си припомним основите

Дори ако си спомняте най-простите понятия за теория на вероятностите, не пренебрегвайте първите параграфи на статията. Факт е, че без ясно разбиране на основите, не можете да работите с формулите, обсъдени по-долу.

Така че има случайно събитие, експеримент. В резултат на действията, които предприемаме, можем да постигнем няколко резултата - някои от тях се появяват по-често, други - по-рядко. Вероятността за събитие е съотношението на броя на действително получените резултати от един вид спрямо общия брой възможни резултати. Само като знаете класическата дефиниция на тази концепция, можете да започнете да изучавате математическото очакване и вариацията на непрекъснатите случайни променливи.

Средно аритметично

Върнете се в училище в математическата класа и започнете да работите със средната аритметика. Тази концепция се използва широко в теорията на вероятностите и затова не може да бъде игнорирана. Основното нещо за нас в момента е, че ще го срещнем във формулите на математическото очакване и вариацията на произволна променлива.

Имаме поредица от числа и искаме да намерим аритметичната средна стойност. Всичко, което се изисква от нас, е да сумираме всичко, което е на разположение и да се разделяме на броя елементи в последователността. Да имаме номера от 1 до 9. Сумата от елементите ще бъде 45 и ние ще разделим тази стойност на 9. Отговор: - 5.

дисперсия

Научно казано, вариацията е средното квадратично отклонение на получените стойности на дадена характеристика от аритметичната средна стойност. Показва се с една главна буква D. Какво трябва да го изчислите? За всеки елемент от последователността се изчислява разликата между съществуващото число и средноаритметичната стойност и квадрата. Стойностите ще бъдат точно толкова, колкото може да има резултати в случай, че обмисляме. След това обобщаваме всички резултати и ги разделяме на броя елементи в последователността. Ако имаме пет възможни резултата, разделяме се на пет.

Дисперсията има свойства, които не трябва да забравяте да използвате при решаване на проблеми. Например, тъй като случайната променлива се увеличава с коефициент X, вариацията се увеличава квадратично в X (т.е. X * X). Той никога не е по-малък от нула и не зависи от преместването на стойности с еднаква стойност в по-голяма или по-малка степен. Освен това, при независими опити размерът на сумата е равен на сумата от разликите.

Сега трябва да разгледаме примери за вариация на дискретна случайна променлива и математическо очакване.

Да предположим, че проведохме 21 експеримента и получихме 7 различни резултата. Всеки от тях наблюдавахме съответно 1,2,2,3,4,4 и 5 пъти. Каква е разликата?

Първо се изчисли средноаритметичната стойност на: сумата от елементите, разбира се, тя е равна на 21. Divide 7 да даде 3. Сега всеки от оригиналния номер на последователност Изваждане 3, всеки квадрат стойността и добавяне на резултатите заедно. Оказва се, че 12. Сега остава за нас да разделяме броя на броя елементи и очевидно всичко. Но има улов! Нека да го обсъдим.

Зависимост от броя на експериментите

Оказва се, че при изчисляването на отклонението в знаменателя може да стои една от двете числа: N или N-1. Тук N е броят на извършените експерименти или броят на елементите в последователността (което по същество е едно и също нещо). От какво зависи?

Ако броят на тестовете се измерва в стотици, тогава трябва да въведем знаменателя N. Ако единици, тогава N-1. Учените решиха да направят границата доста символично: за днес тя минава през фигурата от 30. Ако направихме експерименти по-малко от 30, тогава разделяме сумата от N-1 и ако е по-ниска - от N.

задача

Нека да се върнем към нашия пример за решаване на проблема с дисперсията и математическото очакване. Имаме междинен номер 12, който трябва да бъде разделен на N или N-1. Тъй като проведохме експерименти 21, които са по-малко от 30, ние избираме втория вариант. Така че, отговорът е, че вариацията е 12/2 = 2.

Математическо очакване

Нека преминем към втората концепция, която трябва да разгледаме тази статия. Очакванията са резултат от сумирането на всички възможни резултати, умножени по съответните вероятности. Важно е да се разбере, че получената стойност, както и резултатът от изчисляването на вариацията, се получават само веднъж за цялата задача, без значение колко резултата се разглеждат в нея.

Формулата на очакването е съвсем проста: да вземе резултата, умножен по неговата вероятност, ние добавяме същото и за втора, трета, резултат и т.н. Всичко, свързано с тази концепция, изчислен просто ... Например сумата от очакванията е очакването на сумата. Защото работата е същата. Такива прости операции ни позволяват да изпълняваме с нас не всяко количество в теорията на вероятностите. Да вземем задачата и да изчислим смисъла на двете понятия, които разгледахме. Освен това, ние бяхме разсеяни от теорията - е време да практикуваме.

Друг пример

Извършихме 50 теста и получихме 10 вида резултати - числа от 0 до 9 - които се появяват в различен процент. Това, съответно: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Спомнете си, че за да се получат вероятности, трябва да разделите стойностите в проценти по 100. По този начин получаваме 0,02-0,1 и т.н. Ние представяме за разновидност на случайна променлива и математическо очакване пример за решение на проблема.

Изчисляваме аритметичната средна по формулата, която помним от младшиците: 50/10 = 5.

Сега превеждаме вероятностите в броя на резултатите "на парчета", така че би било по-удобно да се брои. Получават 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 и 9. Всяка получена стойност се изважда средноаритметичната, и след това всеки от получените резултати ние квадрат. Вижте как да направите това, като използвате примера на първия елемент: 1 - 5 = (-4). Следващо: (-4) * (-4) = 16. За останалите стойности изпълнете сами тези операции. Ако сте направили всичко правилно, то след като сте събрали всичко междинни резултати ще получите 90.

Да продължим изчисляването на вариацията и математическото очакване, разделяйки 90 на N. Защо избираме N, а не N-1? Точно така, защото броят на извършените експерименти надвишава 30. Така: 90/9 = 10. Получихме дисперсия. Ако имате различен номер, не се отчайвайте. Най-вероятно сте направили банална грешка при изчисленията. Проверете отново какво е написано и със сигурност всичко ще попадне.

И накрая, нека припомним формулата на математическото очакване. Ние няма да дадем всички изчисления, ние ще напишем само отговора, с който можете да се консултирате, след като сте приключили с всички необходими процедури. Очакванията са 5.48. Ще ви напомним как да извършвате операции на примера на първите елементи: 0 * 0.02 + 1 * 0.1hellip- и т.н. Както можете да видите, ние просто умножаваме стойността на резултата по неговата вероятност.

отклонение

Друга концепция, тясно свързана с дисперсията и математическото очакване, е средното квадратно отклонение. Обозначава се или с латинските букви sd, или с гръцкият малък "сигма". Тази концепция показва колко стойности се отклоняват средно от централната функция. За да откриете стойността му, трябва да изчислите квадратен корен на отклонението.

Ако изградите нормален график за разпространение и искате да го видите директно върху него средната стойност квадратично отклонение, това може да се направи на няколко етапа. Вземете половината изображение вляво или вдясно от режима (център), изчертайте перпендикулярна на хоризонталната ос, така че площите на получените форми да са еднакви. Стойността на сегмента между средата на разпределението и получената проекция върху хоризонталната ос ще бъде средното квадратно отклонение.

софтуер

Както се вижда от описанието на формули и примери представени, очакването и дисперсия изчисленията - не е лесна процедура с аритметична гледна точка. За да не губите време, има смисъл да използвате програмата, използвана в институциите за висше образование - тя се нарича "R". Той има функции, които ви позволяват да изчислявате стойностите за много концепции от статистиката и теорията на вероятностите.

Например, посочвате вектор на стойностите. Това се прави, както следва: вектор <-c (1.5.2хелип-). Сега, когато трябва да изчислите стойностите за този вектор, вие напишете функция и го зададете като аргумент. За да намерите разликата, ще трябва да използвате функцията var. Пример за неговата употреба: var (вектор). След това просто натиснете "въвеждане" и да получите резултата.

В заключение

Дисперсията и математическото очакване са основни понятия за теория на вероятностите, без които е трудно да се изчисли нещо в бъдеще. В основния курс на лекциите в университетите се разглеждат вече през първите месеци от изучаването на темата. Това е поради липсата на разбиране на тези най-прости концепции и невъзможността да се изчисли, че много студенти незабавно започват да изостават от програмата и по-късно получават лоши белези по резултатите от сесията, което ги лишава от стипендиите им.

Правете поне една седмица за половин час на ден, като решите задачи, подобни на тези, представени в тази статия. След това на всеки тест по теория на вероятностите можете да се справите с примери без външни улики и мамят листове.