Теория на вероятността. Вероятност за събитието, случайни събития (теория на вероятностите). Независими и несъвместими събития в теорията на вероятностите

Малко вероятно е много хора да помислят дали е възможно да се изчислят събития, които до известна степен са случайни. С прости думи, наистина ли е възможно да се знае коя страна на куба е в зарове

поколение

Ако се опитате да определите такава концепция като теория на вероятностите, ще получите следното: това е една от секторите на математиката, която се занимава с изучаването на постоянството на случайни събития. Ясно е, че тази концепция всъщност не разкрива цялата точка, така че е необходимо да я разгледаме по-подробно.

Бих искал да започна с основателите на теорията. Както бе споменато по-горе, имаше две от тях Пиер Ферма и Блайз Паскал. Те бяха едни от първите, които използваха формулите и математическите изчисления, за да изчислят резултата от събитието. По принцип началото на тази наука се проявява през Средновековието. Докато различни учени и мислители са се опитвали да анализират казино игри като рулетка, зарове, и така нататък, като по този начин да се създаде модел, както и загубата в проценти на число. Фондацията бе положена през седемнадесети век именно от гореспоменатите учени.

Отначало техните творби не могат да бъдат приписани на големите постижения в тази област, защото всичко, което направиха, беше просто емпирични факти и експериментите бяха визуализирани без използването на формули. С течение на времето се оказа, че се постигат добри резултати, които се дължат на наблюдението на хвърлянето на кости. Този инструмент помогна да се изведат първите различни формули.

Подобни мислещи хора

Невъзможно е да не споменаваме такъв човек като Кристиан Хюйгенс в процеса на изучаване на темата "теория на вероятностите" (вероятността за събитието е обхваната в тази наука). Този човек е много интересно. Той, както и учените, представени по-горе, се опитаха да извлекат законите на произволни събития под формата на математически формули. Трябва да се отбележи, че той не е направил това заедно с Паскал и Ферма, т.е. всичките му творби не се припокриват с тези умове. - заключи Хюйгенс основни понятия на теорията на вероятностите.

Интересно е, че неговата творба е била публикувана дълго преди резултатите от творбите на откриващите, или по-скоро двадесет години по-рано. Сред набелязаните концепции най-известните са:

• концепцията за вероятност като величина на шанса;
• математическо очакване за отделни случаи;
• теореми за умножение и добавяне на вероятности.

Също така е невъзможно да не се припомни Якоб Бернули, който също имаше значителен принос за изучаването на проблема. Провеждайки свои собствени, никой в ​​независими изпитания, той можеше да представи доказателство за закона на големи числа. На свой ред учени от Поасон и Лаплас, които работеха в началото на деветнадесети век, успяха да докажат оригиналните теореми. В този момент теорията за вероятността се използва за анализиране на грешките по време на наблюденията. Руските учени, или по-скоро Марков, Чебшишев и Диапунов, също не успяха да заобиколят тази наука. Те, въз основа на работата, извършена от великите гении, определят този предмет като част от математиката. Тези цифри работят в края на деветнадесети век и благодарение на техния принос такива явления като:

• законът на големи числа;
• теорията на марковите вериги;
• централна гранична теорема.

И така, с историята на раждането на науката и с основните хора, които я повлияват, всичко е повече или по-малко ясно. Сега е време да се конкретизират всички факти.

Основни понятия

Преди да докоснем закони и теореми, си струва да изучим основните понятия на теорията на вероятностите. Събитието в него заема доминираща роля. Тази тема е доста обемна, но без нея няма да можете да разберете всичко останало.

Събитието в теорията на вероятностите е всеки набор от резултати от проведения експеримент. Няма толкова много представи за това явление. Така че учен Лотман, който работи в тази област, каза, че в случая става дума за случилото се ", въпреки че не може да се случи".

Случайни събития (теорията на вероятностите им обръща специално внимание) е концепция, която предполага абсолютно всяко явление, което може да се случи. Или, напротив, този сценарий не може да се случи, когато са изпълнени много условия. Заслужава да се отбележи, че това са произволни събития, които обхващат целия обем на събитията, които са се случили. Теорията на вероятностите показва, че всички условия могат да се повтарят през цялото време. Това е тяхното поведение, което се нарича "опит" или "тест".

Едно събитие е явление, което напълно ще се случи в това изпитание. Съответно, едно невъзможно събитие е нещо, което не се случва.

Комбинирането на двойка действия (условно случай А и случай В) е явление, което се проявява едновременно. Те са обозначени като AB.

Количеството на двойки събития А и В - С е, с други думи, ако поне един от тях ще (А или В), получавате С формула описано явление се изписва като С = А + Б.

Несъвместимите събития в теорията на вероятностите предполагат, че два случая взаимно се изключват. В същото време те в никакъв случай не могат да се случат. Съвместните събития в теорията на вероятностите са техният антипод. Тук се има предвид, че ако А се случи, това не пречи на V.

Противоположните събития (теорията на вероятностите ги третира много подробно) са лесни за разбиране. Най-добре е да се справите с тях в сравнение. Те са почти същите като несъвместими събития в теорията на вероятностите. Но тяхната разлика се крие във факта, че трябва да се случи едно от многото явления.

Също толкова възможни събития са тези действия, чиято повторяемост е равна. За да бъдете по-ясни, можете да си представите да хвърляте монета: падането на една от страните е еднакво вероятно да падне на друга.

Благоприятното събитие е по-лесно да се разгледа с един пример. Да предположим, че един епизод в епизод А. Първият - хвърляне на зар с появата на нечетно число, а втората - на външния вид на номер пет на заровете. Тогава се оказва, че А е благоприятно за Б.

Независими събития в теорията на вероятността се прогнозират само в два или повече случая и предполагат независимостта на всяко действие от другата. Например, A - отпадане на опашки при хвърляне на монета, и B - получаване на крик от палубата. Те са независими събития в теорията на вероятностите. С този миг стана по-ясен.

Зависими събития в теорията на вероятностите също са допустими само за техния набор. Те предполагат зависимостта на една от друга, което означава, че това явление може да се появи в само в случай, когато вече се е случвало А или, напротив, не се случи, когато тя е - главното условие за Б.

Резултатът от случайния експеримент, състоящ се от един компонент, е елементарен. Теорията за вероятността обяснява, че това е явление, което се е случило само веднъж.

Основни формули

Така че понятията "събитие", "теория на вероятностите" бяха разгледани по-горе, беше дадено и определение на основните термини на тази наука. Сега е време да се запознаете директно с важни формули. Тези изрази математически потвърждават всички основни понятия в такъв труден въпрос като теорията на вероятността. Вероятността събитието играе огромна роля тук.

По-добре е да започнете с основните формули на комбинаторниците. И преди да пристъпите към тях, си струва да разберете какво е това.

Комбинаторика - е преди всичко клон на математиката, той е изучаване на огромен брой цели числа, както и различни пермутации на двете числа и техните елементи, различни данни и т.н., което води до редица комбинации ... В допълнение към теорията на вероятностите този клон е важен за статистиката, компютърната наука и криптографията.

Така че сега можете да пристъпите към представянето на самите формули и тяхното определение.

Първият от тях ще бъде израз на броя на пермутациите, изглежда така:

P_n = n sdot- (n-1) sdot- (n-2) хелип-3 sdot- 2 sdot-1 = n!

Уравнението се използва само ако елементите се различават само по реда на тяхното местоположение.

Сега ще разгледаме формулата на разположение, изглежда така:

A_n ^ m = n sdot- (n-1) sdot- (n-2) sdot- ... sdot- (n-m + l) = n! : (н - т)!

Този израз е приложим не само за реда на разполагане на елемента, но и за неговия състав.

Третото уравнение на комбинаторниците, а това е последното, се нарича формулата за броя на комбинациите:

C_n ^ m = n! : (((н - т))! : m!

Комбинацията е пример, който не е поръчан, и това правило се отнася за тях.

C комбинаторни формули Оказа се, че е лесно да се разбере, сега можем да продължим към класическото определение на вероятностите. Този израз изглежда така:

P (A) = m: n.

В тази формула m е броят на условията, които облагодетелстват събитието А и n е броят на абсолютно всички еднакво възможни и елементарни резултати.

Съществуват много изрази, статията няма да покрие всичко, но най-важните ще бъдат засегнати, като например вероятността за съвкупност от събития:

P (A + B) = P (A) + P (B) - тази теорема за добавянето само на несъвместими събития;

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB) - това е само за съвместимост.

Вероятност за събитието:

P (A sdot-В) = Р (А) sdot-P (B) - тази теорема за независими събития;

(Р (А. sdot-В) = Р (А) sdot-P (В | А) -Р (А sdot-В) = Р (А) sdot-P (A | B)) - и тази за зависимите.

Прекратете списъка с формули за събития. Теорията за вероятността ни разказва за теоремата на Бейес, която изглежда така:

Р (H_m | A) = (P (H_m) P (A | H_m)): (сума -_ (к = 1) ^ п Р (H_k) P (A | H_k)), m = 1, ... , n

В тази формула, H₁, Н₂, hellip-, H_п Има пълен набор от хипотези.

Ще се занимаем с това, ще разгледаме примери за прилагане на формули за решаване на конкретни проблеми от практиката.

примери

Ако внимателно изучавате някоя от секторите на математиката, това не се прави без упражнения и пробни решения. Така че теорията на вероятността: събитията, примерите тук са неразделна част, потвърждаваща научните изчисления.

Формулата за броя на пермутациите

Да приемем, че има тридесет карти в палубата на карти, като се започне от номиналната стойност. Следващ въпрос. Колко начина има начини да се сгъва палубата, така че карти с лицеви стойности на една и две да не са разположени един до друг?

Задачата е зададена, сега нека да преминем към решението си. Първо трябва да определите броя на пермутациите на трийсет елемента, за да вземем горната формула, получаваме P_30 = 30 !.

Въз основа на това правило, ние знаем колко опции са там, за да се установят на палубата по много начини, но ние трябва да се приспадне от тях са тези, при които първата и втората карта ще бъде следващата. За да направите това, ние започваме с опцията, когато първата е над втората. Оказва се, че първата карта може да отнеме двадесет и девет места - от първия до двадесет и девети, а втората карта от втори до тридесетте, се превръща двадесет и девет места за двойки от карти. От друга страна, останалата част може да отнеме двадесет и осем места и във всякакъв ред. Това означава, че за обмен на двадесет и осем карти има двадесет и осем варианта P_28 = 28!

В крайна сметка се оказва, че ако разгледаме решението, когато първата карта е над втората, ще се окажат допълнителни възможности 29 sdot- 28! = 29!

Използвайки същия метод, трябва да изчислите броя на излишните опции за случая, когато първата карта е под втората. Оказва се също така 29 sdot- 28! = 29!

От това следва, че допълнителните опции 2 sdot-29!, докато необходимите начини за събиране на палубата от 30! - 2 sdot-29!. Остава само да се брои.

30! = 29! sdot-30-30! - 2 sdot- 29! = 29! sdot- (30-2) = 29! sdot- 28

Сега ние трябва да умножите заедно всички номера 1-29, а след това в края на всичко, умножена по 28. Отговорът, получен 2.4757335 sdot- 〖10〗 ^ 32

Решение на примера. Формулата за броя на разположенията

В тази задача е необходимо да разберете колко начини има да поставите петнадесет тома на един рафт, но при условие, че има общо тридесет тома.

В този проблем решението е малко по-лесно, отколкото в предишната. Като се използва вече известната формула, е необходимо да се изчисли общият брой на договореностите от тридесет обеми до петнадесет.

A_30 ^ 15 = 30 sdot- 29 sdot-28sdot -... sdot- (30 - 15 + 1) = 30 sdot- 29 sdot- 28 sdot- ... sdot-16 = 202,843,204,931,727,360,000

Отговорът ще бъде съответно 202 843 204 931 727 360 000.

Сега нека поемем задачата малко по-сложно. Необходимо е да разберете колко начини има да поставите тридесет книги на две библиотеки, при условие че само петнадесет тома могат да бъдат на един рафт.

Преди да започна решението, бих искал да поясня, че някои проблеми се решават по няколко начина, така че има два начина в това, но и двете използват същата формула.

В тази задача можем да вземем отговора от предходния, защото там изчислихме колко пъти е възможно да се запълни рафта за петнадесет книги по различни начини. Оказа се, че A_30 ^ 15 = 30 sdot- 29 sdot- 28 sdot- ... sdot- (30 - 15 + 1) = 30 sdot- 29 sdot- 28 sdot- ... sdot- 16.

Вторият полка изчислява чрез формула преразпредели, защото тя се поставя петнадесет книги, докато останалата част от петнадесет. Използваме формулата P_15 = 15 !.

Оказва се, че сумата ще бъде A_30 ^ 15 sdot- P_15 начини, но в допълнение, продуктът на всички числа от 30-16 ще бъдат умножени по произведението на числата от 1-15, в крайна сметка да се окаже, продукт на всички числа от 1-30, което е, че отговорът е 30!

Но тази задача може да бъде решена по различен начин - е по-лесно. За това можете да си представите, че има един полк за тридесет книги. Всички от тях са поставени на тази плоскост, но тъй като състоянието изисква, че има два рафта, по един дълъг ние рязане на половина, две обръщания петнадесет. От това се оказва, че вариантите на подреждането могат да бъдат P_30 = 30 !.

Решение на примера. Формулата за номера на комбинацията

Сега ще разгледаме вариант на третия проблем от комбинатора. Необходимо е да разберете колко начини има за организиране на петнадесет книги, при условие че е необходимо да изберете от тридесет абсолютно идентични такива.

За решението, разбира се, ще бъде приложена формулата за броя комбинации. От условието става ясно, че реда на еднакви петнадесет книги не е важен. Следователно, първоначално е необходимо да се разбере общият брой комбинации от тридесет книги до петнадесет.

C_30 ^ 15 = 30! : ((30-15))! : 15! = 155 117 520

Това е всичко. Използвайки тази формула, в най-кратки срокове беше възможно да се реши такъв проблем, съответно отговорът е 155 117 520.

Решение на примера. Класическото определение на вероятността

Използвайки формулата по-горе, можете да намерите отговора в проста задача. Но това ще ви помогне визуално да видите и да следвате хода на действието.

В проблема се дава, че има десет абсолютно еднакви топки в урната. От тях четири са жълти и шест са сини. Една топка е взета от урна. Трябва да знаете вероятността да получите синьо.

За да решим проблема, трябва да определим получаването на синята топка от събитието А. Този опит може да има десет резултата, които на свой ред са елементарни и еднакво възможни. В същото време от десет десет шестима са благоприятни за събитието А. Решаваме според формулата:

P (A) = 6: 10 = 0,6

Прилагайки тази формула, научихме, че способността да се получи синята топка е 0,6.

Решение на примера. Вероятност от сумата от събитията

Сега ще бъде представен вариант, който се решава с помощта на вероятната формула на сбора от събития. Така че, като се има предвид условието, че има два случая, първото е сиво и пет бели топки, а вторият - осем сиви и четири бели топки. В резултат на това един от тях е взет от първия и втория кутии. Необходимо е да разберете каква е вероятността получените топки да бъдат сиви и бели.

За да се реши този проблем, е необходимо да се определят събития.

• Така че, А - взе сивата топка от първото чекмедже: P (A) = 1/6.
• Arsquo - взе бялата топка и от първото чекмедже: P (A `) = 5/6.
• B - извади сивата топка от втората кутия: P (B) = 2/3.
• Врскуо - взе сивата топка от втората кутия: P (B `) = 1/3.

При условието на проблема е необходимо едно от тези явления да се случи: Abrsquo- или Arsquo-B. Използвайки формулата, получаваме: P (AB `) = 1/18, P (A`B) = 10/18.

Сега се използва формулата за умножаване на вероятността. Освен това, за да се намери отговор, е необходимо да се приложи уравнението на тяхното добавяне:

Р = Р (АВ `+ А`В) = Р (АВ`) + Р (А`В) = 11/18.

Така че, използвайки формулата, можете да разрешите подобни проблеми.

Резултатът

Статията представя информация за теорията на вероятността, вероятността за събитие, в което играе решаваща роля. Разбира се, не всичко беше взето предвид, но въз основа на представения текст можете да се запознаете теоретично с този раздел от математиката. Тази наука може да бъде полезна не само в професионалната практика, но и в ежедневието. С негова помощ можете да изчислите всяка възможност за събитие.

Текстът засяга и важни дати в историята на възникването на теорията на вероятностите като наука, както и имената на хората, чиито творби са инвестирани в нея. Така човешкото любопитство е довело до факта, че хората са се научили да броят дори случайни събития. Веднъж те просто се интересуват от него, но днес всеки знае за това. И никой не може да каже какво ще стане с нас в бъдеще, какви други брилянтни открития, свързани с теорията под внимание, ще бъде извършено. Но едно нещо е сигурно - изследванията на място не си заслужават!