Основната концепция за теорията на вероятностите. Законите на теорията на вероятностите

Много от тях, изправени пред концепцията за "теория на вероятностите", се страхуват, мислейки, че това е нещо извън възможностите, много трудно. Но всичко не е толкова трагично. Днес ще разгледаме основната концепция за теорията на вероятностите, ще научим как да решаваме проблемите по конкретни примери.

наука

Какво изучава такъв клон на математиката като "теория на вероятностите"? Тя отбелязва шаблоните случайни събития и количества. За първи път учените, заинтересовани от този въпрос през ХVІІІ век, когато изучаваха хазарта. Основната концепция за теория на вероятностите е събитие. Това е всеки факт, който се установява от опит или наблюдение. Но какъв е опитът? Друга основна концепция за теорията на вероятностите. Това означава, че тази съвкупност от обстоятелства не се създава случайно, а със специфична цел. Що се отнася до наблюдението, тогава самият изследовател не участва в опита, а просто е свидетел на тези събития, той няма никакво влияние.

събития

Научихме, че основната концепция за теория на вероятностите е събитие, но не е взела под внимание класификацията. Всички те попадат в следните категории:

• Надежден.
• Невъзможно.
• Случайни.

Независимо от това, какви събития се наблюдават или създават по време на експеримента, те всички са обект на тази класификация. Предлагаме Ви да се запознаете поотделно с всеки вид.

Надеждно събитие

Това е такова обстоятелство, пред което е направен необходимия комплекс от мерки. За да разберем по-добре същността, е по-добре да дадем няколко примера. Този закон е предмет на физика, химия, икономика и висша математика. Теорията за вероятността включва такава важна концепция като надеждно събитие. Да дам няколко примера:

• Работим и получаваме възнаграждение под формата на заплати.
• Издържаха изпити, преминаха конкурса, за което получихме такса под формата на прием в образователната институция.
• Ние инвестирахме пари в банката, ако е необходимо, ще ги върнем обратно.

Такива събития са надеждни. Ако сме изпълнили всички необходими условия, тогава определено ще получим очаквания резултат.

Невъзможни събития

Сега разглеждаме елементите на теорията на вероятностите. Предлагаме да се стигне до обяснение на следния тип събитие, а именно невъзможното. Първо, нека обсъдим най-важното правило - вероятността от невъзможно събитие е нула.

От тази формулировка не можеш да се оттеглиш, когато решаваш проблеми. За обяснение даваме примери за такива събития:

• Водата замръзна при температура плюс десет (това е невъзможно).
• Липсата на електроенергия не засяга производството по никакъв начин (това е също толкова невъзможно, колкото и в предишния пример).

Повече примери не трябва да се дават, както е описано по-горе, много ясно отразяват същността на тази категория. Невъзможно събитие никога няма да се случи по време на експеримента при никакви обстоятелства.

Случайни събития

Изучавайки елементите на теорията на вероятностите, трябва да се обърне специално внимание на този тип събитие. Те са тези, които изучават тази наука. В резултат на опита, нещо може да се случи или не. В допълнение, тестът може да се извърши неограничен брой пъти. Силни примери са:

• Една монета е опит, или тест, орел е събитие.
• Изваждането на топката от торбата сляпо - тест, червена топка - това събитие и т.н.

Такива примери могат да бъдат неограничен брой, но като цяло същността трябва да е ясна. За да обобщим и систематизираме получените знания за събитията, се дава таблица. Теорията на вероятностите проучва само последния вид от всички представени.

закони

Теорията за вероятността е наука, която проучва възможността за отпадане от дадено събитие. Както другите, тя има някои правила. Съществуват следните закони на теорията на вероятностите:

• Сближаване на последователностите от случайни променливи.
• Закон на големи числа.

При изчисляване на възможността за сложна, може да се използва комплекс от прости събития, за да се постигне резултат по по-лесен и бърз начин. Отбелязваме, че законите на теорията за вероятността лесно се доказват чрез някои теореми. Първо препоръчваме да се запознаете с първия закон.

Сближаване на последователностите от случайни променливи

Имайте предвид, че има няколко вида сближаване:

• Последователността от случайни променливи е сходна по вероятност.
• Почти невъзможно.
• Средна квадратна конвергенция.
• Конвергенция в разпределението.

Така че, в движение, е много трудно да стигнем до точката. Ето определенията, които ще ви помогнат да разберете тази тема. За начало, първият изглед. Позволява се последователността конвергентна по вероятност, ако е изпълнено следното условие: n тенденция към безкрайност, броят, към който последователността има тенденция, е по-голяма от нула и е близка до единството.

Преминаваме към следващата форма, почти със сигурност. Казва се, че последователността се сближава почти със сигурност до произволна променлива при n, склонна към безкрайност, и P с тенденция до стойност близка до единството.

Следващият тип е конвергенция означава квадрат. Когато се използва SC-конвергенция, изследването на случайни векторни процеси се свежда до изучаването на техните координатни произволни процеси.

Последният тип остава, нека да разгледаме накратко и да се обърнем директно към решаването на проблемите. Конвергенцията в разпространението има друго име - "слабо", обясни защо. Слабо сближаване Дали конвергенцията на разпределителните функции във всички точки на непрекъснатост на граничната функция на разпределение.

Уверете се, че сте изпълнили обещанието: слабата конвергенция се различава от всички по-горе, тъй като случайната променлива не е дефинирана на вероятностното пространство. Това е възможно, защото условието се формира изключително чрез използване на функциите за разпределение.

Законът на голям брой

Отличните теоретици в доказателството на този закон ще бъдат теореми на теорията на вероятностите, като:

• Неравенството на Чебшишев.
• Теоремата на Чебшишев.
• Обобщена теза на Chebyshev.
• Теоремата на Марков.

Ако разгледаме всички тези теореми, тогава този въпрос може да се забави с няколко десетки листа. В нашата страна основната задача е да се приложи теорията на вероятностите на практика. Предлагаме ви да го направите точно сега. Но преди това ние разглеждаме аксиомите на теорията на вероятностите, те ще бъдат основните помощници при решаването на проблемите.

аксиоми

От първите, които вече се срещнахме, когато говорихме за невъзможно събитие. Да помним: вероятността от невъзможно събитие е нула. Примерът, който дадохме, беше много ярък и запомнящ се: снегът падна при температура на въздуха от тридесет градуса по Целзий.

Вторият звучи така: се получава надеждно събитие с вероятност, равна на една. Сега нека да покажем как може да се напише това с помощта на математическия език: P (B) = 1.

Трето: Може да се случи произволно събитие или не, но възможността винаги варира от нула до една. Колкото по-близо е стойността на единството, толкова по-големи са шансовете, ако стойността достигне нула, вероятността е много малка. Пишем това на математически език: 0

Обмислете последната, четвъртата аксиома, която гласи следното: вероятността от сумата от две събития е равна на сумата от вероятностите им. Написано е на математически език: P (A + B) = P (A) + P (B).

Аксиомите на теорията на вероятностите са най-простите правила, които лесно могат да бъдат запомнени. Нека се опитаме да разрешим някои проблеми, разчитайки на вече придобитите знания.

Лотария билет

Първо, нека да разгледаме най-простия пример - лотария. Представете си, че сте купили един късмет за късмет. Каква е вероятността да спечелите най-малко двадесет рубли? В обръщението има общо хиляда билета, единият от които има награда от петстотин рубли, десет за сто рубли, петдесет за двадесет рубли и сто до пет рубли. Проблемите в теорията на вероятността се основават на намирането на шанс за успех. Сега заедно ще анализираме решението на горепосочената задача.

Ако с буквата А посочим печалбите от петстотин рубли, тогава вероятността от загуба на А ще бъде 0.001. Как получихме това? Просто се нуждаете от броя на "късметлия" билети, разделен на общия им брой (в този случай: 1/1000).

В - това е печалба от сто рубли, вероятността ще бъде 0.01. Сега действахме на същия принцип, както в предишните действия (10/1000)

C - печалбата е равна на двадесет рубли. Откриваме вероятността, тя е равна на 0,05.

Останалите билети не ни интересуват, тъй като наградният им фонд е по-малък от този, определен в състоянието. Прилагане на четвъртата аксиома: вероятността да спечелите поне двадесет рубли е P (A) + P (B) + P (C). Писмото P обозначава вероятността за произхода на това събитие, което вече ги намерихме в предишни действия. Остава само да се добавят необходимите данни, в отговора получаваме 0,061. Това число ще бъде отговорът на въпроса за заданието.

Картова палуба

Проблемите в теорията на вероятностите са по-сложни, например, ние поемаме следната задача. Преди да сте на палубата от тридесет и шест карти. Вашата задача е да нарисувате две карти подред без смесване на стека, първата и втората карти трябва да бъдат асове, костюмът няма значение.

За начало ще открием вероятността първата карта да бъде асо, затова разделяме четири от тридесет и шест. Те го оставиха настрана. Получаваме втората карта, ас е с вероятност от три трийсет и пет. Вероятността за второто събитие зависи от коя карта първо извадихме, чудехме се дали това е асо или не. От това следва, че събитието В зависи от събитието А.

Следващата стъпка намираме вероятността за едновременното изпълнение, т.е., умножете А и Б. Тяхната работа е както следва: вероятността за едно събитие, умножен по условната вероятност на друг, ние се изчисли, като се приема, че е възникнало първото събитие, т.е., първата карта спряхме асо.

За да стане ясно всичко, ще дадем обозначение на елемент като условна вероятност събития. Изчислява се, ако се приеме, че е настъпило събитие А. Изчислява се, както следва: P (B / A).

Продължаваме решението на нашия проблем: P (A_*В) = Р (А)_*P (B / A) или P (A_*B) = Р (В)_*P (A / B). Вероятността е (4/36)_*((3/35) / (4/36). Изчислете, закръгляване до най-близката стотина Имаме: 0.11_*(0.09 / 0.11) = 0.11_*0,82 = 0,09. Вероятността, че ще съставим два аса поред, е равна на девет стотни. Стойността е много малка, следователно вероятността за произхода на събитието е изключително малка.

Забравен номер

Предлагаме да разглобяваме още няколко варианта на задачите, които теорията за вероятностите изучава. Примери за решения на някои от тези, които сте виждали в тази статия, се опитват да решат следния проблем: Момчето забравил телефонния номер за последната цифра на приятеля си, но тъй като поканата е много важно, а след това започва да се възобновява всеки на свой ред. Трябва да изчислим вероятността той да се обади не повече от три пъти. -простото решение на проблема, ако знаете правилата, законите и аксиоми на теорията на вероятностите.

Преди да погледнете решението, опитайте се да го решите сами. Знаем, че последната цифра може да бъде от нула до девет, т.е. само десет цента. Вероятността да въведете желания е 1/10.

След това трябва да разгледаме вариантите на произхода на събитието, да предположим, че момчето е познало и веднага е написано в правилната, вероятността от такова събитие е 1/10. Втората опция: първото повикване е пропуснато, а второто е на целта. Изчислете вероятността от такова събитие: 9/10 умножено с 1/9, в крайна сметка получаваме и 1/10. Третият вариант: първият и вторият разговор не бяха на адреса, а само от третото момче стигна там, където искаше. Ние изчисляваме вероятността от такова събитие: 9/10 умножено с 8/9 и с 1/8, получаваме 1/10 в резултат. Други варианти не ни интересуват от състоянието на проблема, така че трябва да добавим резултатите, в крайна сметка имаме 3/10. Отговор: вероятността, че момчето ще се обади не повече от три пъти е 0.3.

Карти с номера

Преди да сте девет карти, всеки от които е написан с число от 1 до 9, числата не се повтарят. Те бяха поставени в кутия и напълно смесени. Трябва да изчислите вероятността за това

• ще има чисто число,
• двуцифрено.

Преди да преминем към решението, да кажем, че m е броят на успешните случаи и n е общият брой на опциите. Да намерим вероятността номерът да е равен. Няма да е трудно да се изчисли, че има дори четири числа, това ще бъде нашето m, може да има девет варианта, т.е. m = 9. Тогава вероятността е 0.44 или 4/9.

Ние разглеждаме втория случай: броят на опциите е девет и не може да има успешни резултати, т.е. m е нула. Вероятността продълговата карта да съдържа двуцифрено число също е нула.