Добавяне и умножаване на вероятностите: примери за решения и теория

Изследването на теорията на вероятностите започва с решаването на проблемите при добавянето и умножаването на вероятностите. Заслужава да се отбележи веднага, че студент по време на развитието на тази област на знанието може да се изправи пред проблем: ако физични или химични процеси, може да се представи визуално и да разберат емпирично, нивото на математическа абстракция е много висока, и разбиране тук идва само с опит.

Въпреки това играта си заслужава свещта, защото формулите - както са обсъждани в тази статия, и по-сложните - се използват днес навсякъде и може би са полезни в работата.

произход

Странно е, че тласъкът за развитието на този раздел на математиката е бил хазарт. Всъщност, кучетата, хвърлянето на монети, покера, рулетката са типични примери, при които се използват добавяне и умножаване на вероятностите. На пример за задачи във всеки учебник това може да се види ясно. Хората се интересуваха да научат как да увеличат шансовете си за спечелване и трябва да кажа, че някои успели в това.

Например, още в 21-ви век, един човек, чието име няма да разкрием, ще използва това натрупано знание, за да "чисти" буквално казиното, като спечели няколко десетки милиони долари в рулетка.

Все пак, въпреки нарасналия интерес към темата, едва през ХХ век е разработена теоретична рамка, която превърна "theeor" в пълноправен компонент на математиката. Днес, практически във всяка наука, можете да намерите изчисления, които използват вероятностни методи.

приложимост

Важна точка в използването на добавянето и умножаването на вероятностите, условната вероятност е осъществимостта на централната гранична теорема. В противен случай, въпреки че не може да бъде реализиран от ученика, всички изчисления, колкото и да са правдоподобни, може да изглеждат неверни.

Да, силно мотивиран студент е изкушен да използва нови знания при всяка възможност. Но в този случай трябва да забавите няколко и стриктно да очертаете обхвата на приложимост.

Теорията на вероятностите се занимава с произволни събития, които емпирично представят резултатите от експериментите: можем да хвърлим куб с шест лица, да извадим карта от палубата, да предвидим количеството дефектни части в партида. При някои въпроси обаче е абсолютно невъзможно да се използват формули от тази секция на математиката. Характеристиките на разглеждане на вероятностите за събитие, добавяне и умножаване на събитията, обсъждаме в края на статията, но засега нека се обърнем към примери.

Основни понятия

Произволно събитие е процес или резултат, който може или не може да се появи като резултат от експеримент. Например, хвърляме сандвич - може да падне с масло или масло. Всеки от двата резултата ще бъде случайно и ние не знаем предварително кой ще се случи.

Когато изучаваме добавянето и умножаването на вероятностите, имаме нужда от още две понятия.

Съвместно се наричат ​​такива събития, появата на която не изключва появата на друг. Например, двама души стрелят по едно и също време на целта. Ако някой от тях направи успешен изстрел, той не засяга способността на втория да влезе в "окото на бика" или да пропусне.

Несъвместими ще бъдат такива събития, чието появяване е едновременно невъзможно. Например, като издърпате само една топка от кутията, не можете да получите син и червен наведнъж.

предназначение

Понятието за вероятност се обозначава с латинското главно писмо П. Освен това в скоби са аргументи, обозначаващи някои събития.

Във формулите на теоремата за добавяне, условната вероятност, мултипликационната теорема, ще видите изрази в скоби, например: A + B, AB или A | B. Те ще се изчисляват по различни начини, сега се обръщаме към тях.

допълнение

Нека разгледаме случаите, в които се използват формулите на добавяне и умножаване на вероятностите.

За несъвместими събития най-простото формула за добавяне е подходяща: вероятността за произволен резултат е равна на сумата от вероятностите на всеки от тези резултати.

Да предположим, че има кутия с 2 сини, 3 червени и 5 жълти топки. Общо в полето има 10 елемента. Каква е част от истината за твърдението, че ще извадим синя или червена топка? Тя ще бъде равна на 2/10 + 3/10, т.е. петдесет процента.

В случай на несъвместими събития формулата става по-сложна, тъй като се добавя допълнителен термин. Нека да се върнем към него в един параграф, след като разгледаме друга формула.

умножение

Добавянето и умножаването на вероятностите за независими събития се използват в различни случаи. Ако при условието на експеримента сме удовлетворени от двата възможни резултата, ще изчислим сумата, ако искаме да постигнем два определени резултата един след друг, прибягваме до използването на друга формула.

Връщайки се към примера от предходната секция, искаме първо да извадим синьото топче и после да сменим червеното. Първият ни брой е 2/10. Какво ще стане след това? Шаров остава 9, червен сред тях - три парчета. Според изчисленията тя ще бъде 3/9 или 1/3. Но какво правиш с две номера сега? Правилният отговор е да го умножите, за да получите 2/30.

Съвместни събития

Сега можете да се върнете към сумата формула за съвместни събития. Защо сме се разсеяли от темата? За да научите как се умножават вероятностите. Сега това знание е полезно за нас.

Вече знаем какви ще бъдат първите две условия (те са същите като в формулата за добавяне, разгледана по-рано), сега трябва да извадим произведението от вероятности, което току-що научихме да изчислим. За яснота напишете формулата: P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB). Оказва се, че в един израз се използват както добавянето, така и умножаването на вероятностите.

Да приемем, че трябва да решим някоя от двете задачи, за да получим кредита. Можем да решим първата с вероятност от 0.3, а втората - с 0.6. Разтворът: 0.3 + 0.6 - 0.18 = 0.72. Забележете, просто добавянето на номерата тук не е достатъчно.

Условната вероятност

И накрая, съществува понятието условна вероятност, чиито аргументи са обозначени в скоби и са разделени от вертикална линия. Записът P (A | B) се чете, както следва: "вероятността за събитие А при условие на събитие B".

Да видим един пример: приятел ви дава устройство, нека да бъде телефон. Тя може да бъде счупена (20%) или дефектна (80%). Всяко устройство, което имате в ръцете си, можете да ремонтирате с вероятност от 0,4 или неспособно да го направите (0,6). И накрая, ако устройството е в работно състояние, можете да достигнете до подходящия човек с вероятност от 0,7.

Лесно е да разберете как в този случай се проявява условната вероятност: не можете да достигнете до лицето, ако телефонът е счупен и ако той работи, няма нужда да го поправяте. За да получите резултати на "второ ниво", трябва да разберете кое събитие се е случило на първо ниво.

изчисления

Разгледайте примери за решаване на проблеми при добавянето и умножаването на вероятностите, като използвате данните от предишния параграф.

За начало ще открием вероятността да поправите устройството, което ви е дадено. За това първо трябва да е дефектна и второ, трябва да се справите с ремонта. Това е типичен проблем с умножението: получаваме 0.2 * 0.4 = 0.08.

Каква е вероятността веднага да достигнете до точното лице? По-лесно от просто: 0,8 * 0,7 = 0,56. В този случай сте открили, че телефонът работи и успешно е осъществил разговора.

Накрая, помислете за тази опция: имаш счупен телефон, фиксиран, след това набрал номера, а лицето от другия край вдигна телефона. Тук вече се изисква размножаването на трите компонента: 0,2 * 0,4 * 0,7 = 0,056.

И какво, ако имате два неработещи телефона? Колко е вероятно да определите поне един от тях? Това е задача върху добавянето и умножаването на вероятностите, тъй като се използват съвместни събития. Разтвор: 0,4 + 0,4 - 0,4 * 0,4 = 0,8 - 0,16 = 0,64. По този начин, ако получите две счупени устройства в ръцете си, ще се справите с ремонта в 64% от случаите.

Внимателно използване

Както е посочено в началото на статията, използването на теория на вероятностите трябва да бъде съзнателно и съзнателно.

Колкото по-голям е броят на експериментите, толкова по-близо теоретично прогнозираната стойност се доближава до това, което е получено на практика. Например, хвърляме монета. На теория, знае за съществуването вероятностите за събиране и умножение формули, ние можем да се предскаже колко време ще падне "орел" и "опашки" ако ние не направим един експеримент 10 пъти. Ние проведохме експеримент, и по стечение на обстоятелствата съотношение спадна страни са от 3 до 7. Но когато серия от 100, 1000 или повече опити, се оказва, че диаграмата на разсейване на всички все по-близо до теоретичната 44 до 56 482-518 и така нататък.

И сега си представете, че този експеримент не се извършва с монета, а с производството на най-новото химическо вещество, вероятността да се получи, което не знаем. Бихме провели 10 експеримента и, без да получим успешен резултат, бихме могли да обобщим: "невъзможно е да се получи вещество". Но кой знае, ако направихме единадесети опит, щяхме ли да постигнем целта или не?

По този начин, ако се отнасяте до неизвестното, до неизследвана област, теорията на вероятностите може да не е приложима. Всеки следващ опит в този случай може да бъде успешен и генерализирането на типа "X не съществува" или "X е невъзможно" ще бъде преждевременно.

Заключителни бележки

Така че, ние разгледахме два вида добавки, размножаване и условни вероятности. С по-нататъшно проучване на тази област е необходимо да се научим да различаваме ситуациите, когато се използва всяка конкретна формула. Освен това е необходимо да си представите дали вероятностните методи обикновено са приложими при решаването на вашия проблем.

Ако практикувате, след известно време ще започнете да изпълнявате всички необходими операции изключително в съзнанието си. За тези, които харесват картовите игри, това умение може да се счита за изключително ценно - значително ще увеличите шансовете си за спечелване, просто изчисляване на вероятността картичката или костюмът да паднат. Въпреки това получените знания лесно можете да намерите в други области на дейност.