Функции на разпределение на произволна променлива. Как да намерим разпределителната функция на произволна променлива

За да се намерят функциите за разпределение на случайни променливи и техните променливи, е необходимо да се изучат всички характеристики на тази област на знанието. Има няколко различни метода за намиране на разглежданите стойности, включително промяна на променливата и генериране на въртящ момент. Разпределението е концепция, основана на елементи като вариация, вариация. Те обаче характеризират само степента на амплитудата на разсейване.

По-важните функции на случайните променливи са тези, които са свързани и независими и са равномерно разпределени. Например, ако X1 - теглото на случайно избран индивидуално от населението на мъжете, X2 - друго тегло, ... и Xn - теглото на друго лице на мъжкото население, а след това, трябва да знаете как се разпределя на случаен функция X. В този случай прилагаме класическата теорема, наречена централна гранична теорема. Това ни позволява да покажем, че за голяма n функцията следва стандартните разпределения.

Функции на една произволна променлива

Централната гранична теорема е предназначена да приближи отделни считани стойности, като биноми и Poisson. Функциите на разпределение на случайни променливи се разглеждат преди всичко от прости величини на една променлива. Например, ако X е непрекъсната случайна променлива със свое собствено разпределение на вероятностите. В този случай изследваме как да намерим функцията за плътност Y, като използваме два различни подхода, а именно метода на разпределителната функция и променливата вариация. Първо, се вземат предвид само стойностите "един към един". След това трябва да промените техниката за промяна на променливата, за да откриете нейната вероятност. И накрая, трябва да научим как обратната функция на кумулативното разпределение може да помогне за моделирането на случайни числа, които следват определени последователни вериги.

Метод на разпределение на разглежданите стойности

Методът на функцията за разпределение на вероятността на произволна променлива е приложим, за да се намери неговата плътност. При използването на този метод се изчислява кумулативна стойност. След това, като го диференцираме, можем да получим вероятната плътност. Сега, в присъствието на метода на разпределителната функция, можем да разгледаме още няколко примера. Нека X е непрекъсната случайна променлива с определена вероятностна плътност.

Каква е вероятността плътност функция на х2? Ако погледнем или парцелираме функцията (отгоре и отдясно) y = x2, можем да отбележим, че това е увеличение на X и 0

В последния пример беше използвана голяма предпазливост за индексиране на кумулативните функции и вероятната плътност, или с X, или Y, за да се посочи на коя произволна променлива принадлежат. Например, при намирането на кумулативната функция на разпределение, Y е даден X. Ако е необходимо да се намери случайната променлива X и нейната плътност, то просто трябва да бъде диференцирано.

Техника за промяна на променливи

Нека X е непрекъсната случайна променлива, дадена от разпределителна функция с общия знаменател f (x). В този случай, ако поставите стойността на y в X = v (Y), ще получите стойността на x, например v (y). Сега трябва да получим разпределителната функция на непрекъсната случайна променлива Y. Когато първото и второто равенство се случват от дефиницията на кумулативния Y. Третото уравнение е изпълнено, защото частите на функцията, за които u (X) le-y, също е вярно, че X le-v (Y). И последната се изпълнява, за да се определи вероятността в непрекъсната случайна променлива X. Сега трябва да вземем производното на FY (y), кумулативната функция на разпределение Y, за да получим вероятната плътност Y.

Обобщение на функцията за намаляване

Нека X е непрекъсната случайна променлива с обща f (x) дефинирана над c1

За да се реши този проблем, е възможно да се съберат количествени данни и да се използва емпиричната функция за кумулативно разпределение. Притежавайки тази информация и привличайки я, е необходимо да съчетаем проби от средства, стандартни отклонения, медийни данни и т.н.

По подобен начин дори сравнително простият вероятностни модел може да има огромен брой резултати. Например, ако обърнете монетата 332 пъти. Тогава броят на резултатите, получени от преврата, е по-голям от този на google (10100) - число, но не по-малко от 100 квинтилиони пъти по-малко от елементарните частици в известната вселена. Не е интересно анализа, който дава отговор на всеки възможен резултат. Необходима е по-проста концепция, като например броят на главите или най-продължителната работа на опашките. За да се съсредоточим върху въпроси от интерес, се постига определен резултат. Дефиницията в този случай е следната: случайната променлива е истинска функция с вероятностно пространство.

Диапазонът S на случайна променлива понякога се нарича държавно пространство. Така, ако X е разглежданата стойност, тогава N = X2, exp crarr-X, Х2 + 1, tan2X, bXc и така нататък. Последният от тях, закръглявайки X до най-близкото цяло число, се нарича функция на секса.

Функции на разпределение

След като се определи желаната функция на разпределение на случайната променлива x, въпросът обикновено става: "Какви са шансовете, че X попада в някои подгрупи от стойностите на В?". Например, B = {нечетни числа}, B = {по-големи от 1} или B = {между 2 и 7}, за да покажем тези резултати, които имат X, стойността на произволна променлива в подмножество А. Така в горния пример, опишете събитията, както следва.

{X е нечетно число}, {X е по-голямо от 1} = {X> 1}, {X е между 2 и 7} = {2

Случайни променливи и разпределителни функции

По този начин е възможно да се изчисли вероятността разпределителната функция на произволна променлива x да има стойности в интервал чрез изваждане. Трябва да обмислите включването или изключването на крайни точки.

Ние наричаме случайна променлива дискретна, ако има ограничено или преброително безкрайно държавно пространство. По този начин, X е броят на главите на три независими изкривявания на разместената монета, който се издига с вероятност p. Необходимо е да се намери кумулативната функция на разпределение на дискретна случайна променлива FX за X. Нека X е броят на върховете в колекция от три карти. Тогава Y = X3 чрез FX. FX започва от 0, завършва на 1 и не намалява с нарастващи стойности на x. Кумулативната FX разпределителна функция на дискретна случайна променлива X е постоянна, с изключение на скокове. При скок FX е непрекъснато. Докажете изявлението за правилната приемственост на разпределителната функция от вероятността, използвайки определението. Звучи така: постоянна случайна променлива има кумулативна FX, която е диференцируема.

За да покажем как може да се случи това, можем да дадем пример: цел с радиус на единица. Предполага се. Дъното е равномерно разпределено в определената област. За някои lambda-> 0. Така разпределението на непрекъснатите случайни променливи се увеличава плавно. FX има свойствата на функцията за разпределение.

Човек чака автобуса на автобусната спирка, докато не пристигне. Решавайки сам себе си, че ще откаже, когато чакането ще достигне 20 минути. Тук е необходимо да се намери кумулативната функция за разпространение на Т. Времето, когато човек все още ще бъде на автогарата или няма да напусне. Въпреки факта, че функцията за кумулативно разпределение е дефинирана за всяка произволна променлива. Същевременно често се използват често други характеристики: масата за дискретна променлива и разпределителната функция на произволна променлива. Обикновено стойността се извежда през една от тези две стойности.

Масови функции

Тези стойности се разглеждат от следните свойства, които имат общ (масов знак). Първото се основава на факта, че вероятностите не са отрицателни. Втората се дължи на наблюдението, че комплектът за всички x = 2S, състоянието на пространството за X, формира дял на вероятностната свобода X. Пример: хвърля невижеща монета, чиито резултати са независими. Можете да продължите да изпълнявате определени действия, докато не получите headshot. Нека X означава случайна променлива, която дава броя на опашките пред първата глава. И p означава вероятността за всяко дадено действие.

По този начин масовата вероятностна функция има следните характерни черти. Тъй като термините образуват числена последователност, X се нарича геометрична случайна променлива. Геометрична схема c, cr, cr2,. ,,,, crn има сума. И, следователно, sn има граница за n 1. В този случай, безкрайната сума е границата.

Масовата функция по-горе формира геометрична последователност със съотношение. Следователно, естествените числа a и b. Разликата в стойностите в разпределителната функция е равна на стойността на масовата функция.

Посочените стойности на плътността имат следната дефиниция: X е случайна променлива, чието FX разпределение има производно. FX, отговаряща на Z xFX (x) = fX (t) dt-1, се нарича функция за вероятностна плътност. А се нарича непрекъсната случайна променлива. В основната теорема на смятането функцията за плътност е производната на разпределението. Можете да изчислите вероятността чрез изчисляване на някои интеграли.

Тъй като данните се събират от няколко наблюдения, повече от една случайна променлива трябва да се разглежда в даден момент, за да се симулират експерименталните процедури. Следователно, наборът от тези стойности и тяхното съвместно разпределение за двете променливи X1 и X2 означава събития за наблюдение. За дискретни случайни променливи се определят съвместните масови функции на вероятностите. За непрекъснато, ние считаме fX1, X2, където плътността на вероятността за съвпадение е изпълнена.

Независими случайни променливи

Две случайни променливи X1 и X2 са независими, ако има две свързани с тях събития, които са еднакви. С думи, вероятността двете събития {X1 2 B1} и {X2 2 B2} да се появят едновременно, y е равна на произведението на посочените по-горе променливи, че всяка от тях се извършва индивидуално. За независими дискретни произволни променливи съществува функция на съвместната вероятностна маса, която е продукт на ограничаващия обем йони. За непрекъснати произволни променливи, които са независими, функцията за плътност на вероятността за съвпадение е продукт на стойностите на ограничителната плътност. В заключение, n независими наблюдения x1, x2 ,. x, произтичащи от неизвестна плътност или масова функция f. Например, неизвестен параметър във функциите за експоненциална случайна променлива, описваща времето за изчакване на автобус.

Симулация на случайни променливи

Основната цел на тази теоретична област е да осигури необходимите инструменти за разработването на инференциални процедури, основани на стабилни принципи на статистиката. По този начин едно от най-важните приложения на софтуера е способността да се генерират псевдо-данни, за да се симулира действителна информация. Това дава възможност да се тестват и подобряват методите за анализ, преди да се използват в реални бази данни. Това е необходимо, за да се изследват свойствата на данните чрез моделиране. За много често използвани семейства от случайни променливи, R предоставя командите за тяхното създаване. За други обстоятелства се нуждаем от методи за моделиране на последователност от независими случайни променливи, които имат общо разпространение.

Дискретни случайни променливи и команден модел. Командата на пробата се използва за създаване на прости и стратирани произволни проби. В резултат на това, ако се въведе последователност х, пробата (x, 40) избира 40 записи от х по такъв начин, че всички размери от 40 да имат еднаква вероятност. Това използва командата R по подразбиране за вземане на проби без замяна. Можете също така да го използвате, за да симулирате дискретни случайни променливи. За да направите това, трябва да предоставите държавно пространство във вектора x и масовата функция f. Обаждането за замяна = TRUE означава, че вземането на проби се извършва при замяна. След това се използва проба (x, n, replace = TRUE, prob = f), за да се получи проба от n независими случайни променливи, имащи обща масова функция f.

Установено е, че 1 е най-малката представена стойност и 4 е най-голямата от всички. Ако prob = f е пропуснато, пробата ще бъде избрана равномерно от стойностите във вектора x. Проверете симулацията срещу масовата функция, която генерира данните, като обърнете внимание на двойния знак за равенство, ==. И преподаване на наблюденията, които вземат всяка възможна стойност за х. Можете да направите маса. Повторете това за 1000 и сравнете симулацията със съответната масова функция.

Илюстриране на трансформацията на вероятността

Първо, ние симулираме хомогенни разпределителни функции на случайните променливи u1, u2,. ,,, un на интервала [0, 1]. Около 10% от числата трябва да са в рамките на [0,3, 0,4]. Това съответства на 10% от симулациите на интервала [0,28, 0,38] за произволна променлива с посочената разпределителна функция FX. Аналогично, около 10% от случайните числа трябва да са в интервала [0,7, 0,8]. Това съответства на 10% от симулациите в интервала [0.96, 1.51] на случайната променлива с разпределителната функция FX. Тези стойности по оста x могат да бъдат получени от връщане на печалба от FX. Ако X е непрекъсната случайна променлива с плътност fX положителна навсякъде в нейната област, тогава разпределителната функция стриктно се увеличава. В този случай FX има обратна функция FX-1, известна като функция quantile. FX (x) u само ако x FX-1 (u). Преобразуването на вероятностите е резултат от анализ на случайната променлива U = FX (X).

FX има обхват между 0 и 1. Тя не може да заема стойност под 0 или над 1. стойностите на ф между 0 и 1. Ако е възможно да се симулира U, е необходимо да се симулира случайна променлива с функция на разпределение FX чрез квантил. Вземете производно, за да се види, че плътността ф варира 1. Тъй като случайна променлива U има постоянна плътност в диапазона на възможните стойности, се казва, че е еднакво на интервала [0, 1]. Той се моделира в R с помощта на командата runif. Идентичността се нарича вероятностна трансформация. Можете да видите как работи в примера с стрелката. X между 0 и 1, разпределителната функция u = FX (x) = x2, а оттам и quantile функцията x = FX-1 (u). Възможно е да се симулират независими наблюдения на разстоянието от центъра на дартния панел и по този начин да се създадат еднакви случайни променливи U1, U2. "Un. Функцията за разпространение и емпиричното са базирани на 100 симулации на разпределението на стрелката. За експоненциална случайна променлива, вероятно u = FX (x) = 1 - exp (-x) и следователно x = - 1 ln (1 - u). Понякога логиката се състои от еквивалентни твърдения. В този случай трябва да съчетаете две части на аргумента. Идентичността с пресичане е подобна за всички 2 {S i i} S, вместо за някаква стойност. Съединението на Ci е равно на държавното пространство S и всяка двойка се изключва взаимно. Тъй като Би е разделена на три аксиома. Всяка проверка се основава на съответната вероятност П. За всяка подгрупа. Използвайки самоличността, за да сте сигурни, че отговорът не зависи от това дали са включени крайните точки на интервала.

Експоненциална функция и нейните променливи

За всеки резултат във всички случаи в крайна сметка се използва втората собственост на приемствеността на вероятностите, която се счита за аксиоматична. Законът за разпределение на функция на произволна променлива тук показва, че всеки има свое собствено решение и отговор.