Какво представлява фракталът? Фракталите в природата

Често блестящите открития, извършени в науката, могат драстично да променят живота ни. Например, изобретението на ваксина може да спаси много хора, а създаването на нови оръжия води до убийства. Буквално вчера (в мащаба на историята) човек "опитоми" електричеството и днес не може да си представи живота си без него. Съществуват обаче и такива открития, които, казват те, остават в сенките и въпреки факта, че те също оказват известно влияние върху нашия живот. Едно от тези открития е фрактал. Повечето хора дори не са чували за тази концепция и няма да могат да обяснят смисъла си. В тази статия ще се опитаме да разберем въпроса какво е фрактал, да разгледаме смисъла на това понятие от позицията на науката и природата.

Поръчайте в хаос

За да разберем какво е фракталът, трябва да започнем анализа на полетите от позицията на математиката, но преди да попаднем в точни науки, ние сме малко философски. Всеки човек има естествено любопитство, чрез което познава света около него. Често в стремежа си да познава, той се опитва да действа логично в своите преценки. Така че, анализирайки процесите, които се случват наоколо, той се опитва да изчисли връзките и да извлече определени закономерности. Най-великите умове на планетата се занимават с решаването на тези проблеми. На пръв поглед нашите учени търсят модели, в които те не съществуват и не трябва да бъдат. И все пак, дори в хаос, има връзка между тези или тези събития. Това е връзката, която е фракталът. Като пример, помислете за счупен клон, който лежи на пътя. Ако погледнем внимателно, ще видим, че е като едно дърво с всичките му клони и възли. Тази прилика на отделна част с едно цяло свидетелства за така наречения принцип на рекурсивна самоподобност. Фракталите в природата могат да бъдат намерени много често, тъй като много неорганични и органични форми се формират по подобен начин. Това са облаци, морски черупки, черупки от охлюви и корони на дърветата, а дори и кръвоносната система. Този списък може да продължи безкрайно. Всички тези произволни форми лесно описват фрактален алгоритъм. Тук дойдохме да разгледаме какъв фрактал е от позицията на точните науки.

Няколко сухи факта

Самата дума "фрактал" на латински е преведена като "частична", "разделена", "фрагментирана", а по отношение на съдържанието на този термин няма формулировка като такава. Обикновено тя се третира като самоподобен комплект, част от цялото, което се повтаря от структурата му на микро ниво. Този термин е измислен през седемдесетте години на двадесети век от Беноа Манделброт, който е признат от баща си фрактална геометрия. Днес концепцията за фрактал предполага графично представяне на структура, която, подобно на увеличен мащаб, ще бъде подобна на самата нея. Математическата основа за създаването на тази теория обаче беше поставена още преди раждането на самия Манделброт, но не можеше да се развие, докато не се появиха електронни компютри.

Историческо сведение или как всичко започна

В началото на XIX и XX в. Изследването на природата на фракталите е епизодично. Това се дължи на факта, че математиците предпочитат да изучават обекти, които могат да бъдат изучавани въз основа на общи теории и методи. През 1872 германският математик К. Вейерщрас конструира пример за непрекъсната функция, която никъде не може да се разграничи. Тази конструкция обаче се оказа абстрактна и трудна за възприемане. След това отиде шведът Helge von Koch, който през 1904 г. изгради продължителна крива, която никъде няма допирателна. Това е доста лесно да се направи, и както се оказа, се характеризира с фрактални свойства. Един от вариантите на тази крива е кръстен в чест на автора - "снежинка Кох". Освен това идеята за самоподобността на цифрите е разработена от бъдещия инструктор на Б. Манделброт, французина Пол Леви. През 1938 г. публикува статията "Плоски и пространствени криви и повърхности, състоящи се от части като цяло". В него описва нов вид - C-кривата на Леви. Всички горепосочени цифри са условно свързани с формата, като геометрични фрактали.

Динамични или алгебрични фрактали

Този клас включва комплекта Mandelbrot. Първите изследователи в тази посока са френските математици Пиер Фато и Гастон Джулия. През 1918 г. Джулия публикува книга, базирана на изучаването на повторения на рационални сложни функции. Тук той описва семейство от фрактали, които са тясно свързани с комплекта Mandelbrot. Въпреки факта, че тази работа прослави автора сред математиците, тя бързо бе забравена. И само половин век по-късно, благодарение на компютрите, работата на Джулия получи втори живот. Компютрите позволяват да направят видими за всеки човек красотата и богатството на света на фракталите, които могат да "видят" математиците, като ги показват чрез функции. Манделброт е първият, който е използвал компютър, за да извършва изчисления (такъв обем не може да бъде направен ръчно), което позволи да се изгради образ на тези цифри.

Човек с пространствено въображение

Манделброт започва своята научна кариера в изследователския център на IBM. Изследвайки възможностите за предаване на данни на дълги разстояния, учените се сблъскаха с големи загуби, които възникнаха поради смущения в шума. Бенот търсеше начини да реши този проблем. С поглед към резултатите от измерванията той насочи вниманието към странен модел, а именно: шумовите графики изглеждаха еднакви в различни времеви скали. Подобна картина се наблюдава за период от един ден, седем дни или за един час. Самият Бенос Манделброт често казва, че не работи с формули, а играе с картини. Този учен се различава в фигуралното мислене, превеждал е някакъв алгебричен проблем в геометрична област, където правилният отговор е очевиден. Така че не е изненадващо, че такова лице, характеризира богат пространствено мислене, и стана баща на фракталната геометрия. В края на краищата, осъзнаването на тази фигура може да дойде само когато изучавате рисунките и размишлявате върху значението на тези странни обрати, които формират модела. Фракталните модели нямат идентични елементи, но имат сходство във всякакъв мащаб.

Джулия - Манделброт

Едно от първите рисунки на тази фигура е графичното тълкуване на набора, който е роден благодарение на творбите на Гастон Джулия и е модифициран от Манделброт. Гастон се опита да си представи как изглежда комплектът, изграден въз основа на проста формула, която се губи от обратната връзка. Нека се опитаме да обясним казаното на човешкия език, така да се каже, на пръстите ви. За конкретна цифрова стойност, използвайки формулата, откриваме нова стойност. Заменяме го във формулата и намираме следното. В резултат на това, голям цифрова последователност. За да представляваме такъв комплект, той трябва да изпълнява тази операция многократно: стотици, хиляди, милиони. Това е, което направи Беноа. Той обработва последователността и прехвърля резултатите в графична форма. Впоследствие той рисува резултантната фигура (всеки цвят съответства на определен брой итерации). Това графично изображение е наречено "Mandelbrot Fractal".

Л. Карпентър: изкуството, създадено от природата

Теорията на фракталите бързо намери практическо приложение. Тъй като тя е тясно свързана с визуализацията на самоподобни изображения, първите, които приемат принципите и алгоритмите за конструиране на тези необичайни форми, са художниците. Първият от тях е бъдещият основател на студиото Pixar Лаурен Карпентър. Работейки върху представянето на прототипите на самолети, му се струваше, че ще използва образа на планините като фон. Днес почти всеки потребител на компютър може да се справи с тази задача, а през седемдесетте години на миналия век компютрите не могат да извършват такива процеси, тъй като графичните редактори и приложенията за 3D графики по това време все още не бяха. И така, Лорен хвана книгата на Манделброт "Fractals: Form, Accident and Dimension". В него Беноа даде много примери, показващи, че има фрактали в природата (фюва), той описва тяхната разнообразна форма и твърди, че те лесно се описват от математически изрази. Математикът цитира тази аналогия като аргумент за полезността на теорията, която разработи в отговор на редица критики от колегите си. Те твърдят, че фракталът е просто красива картина, която няма стойност, която е вторичен продукт от работата на електронните машини. Карпентър реши да опита този метод на практика. След внимателно проучване на книгата, бъдещият аниматор започна да търси начин да внедри фрактална геометрия в компютърната графика. Отне му само три дни, за да визуализира един много реалистичен образ на планинския пейзаж на компютъра. И днес този принцип се използва широко. Както се оказа, създаването на фрактали не изисква много време и усилия.

Разтворът на Карпентър

Принципът, използван от Лорън, е прост. Състои се от разделяне на по-големите геометрични форми върху малки елементи и тези - на сходни по-малки размери и т.н. Carpenter, използвайки големи триъгълници, ги смачка в 4 малки и т.н., докато не получи реалистичен планински пейзаж. По този начин той става първият художник, който прилага фракталния алгоритъм в компютърната графика, за да изгради необходимото изображение. Днес този принцип се използва за симулиране на различни реалистични природни форми.

Първата 3D визуализация на фракталния алгоритъм

Няколко години по-късно Лаурен използва работата си в мащабен проект - анимационният клип Vol Libre, показан на Сигграф през 1980. Това видео шокира много и неговият създател бе поканен да работи в Lucasfilm. Тук аниматорът може да се реализира в най-голяма степен, създава триизмерни пейзажи (цялата планета) за игралния филм "Стар Трек". Всяка съвременна програма ("Fractals") или приложение за създаване на триизмерна графика (Terragen, Vue, Bryce) използва същия алгоритъм за моделиране на текстури и повърхности.

Том Бърдърд

В миналото един лазерен физик, сега дигитален майстор и художник, Beddard създава серия от много интригуващи геометрични фигури, които той нарича Фаберже фрактали. Навън те приличат на декоративните яйца на руски бижутер, със същия блестящ сложен образец. Beddard използва шаблон за създаване на собствени цифрови визуализации на модели. Получените продукти удивиха красотата. Въпреки че мнозина отказват да сравняват ръчно изработения продукт с компютърна програма, трябва да се признае, че получените формуляри са необичайно красиви. Откроението е, че всяко заинтересовано лице може да изгради такъв фрактал, използвайки софтуерната библиотека на WebGL. Тя ви позволява да изследвате в реално време различни фрактални структури.

Фракталите в природата

Малко хора обръщат внимание, но тези удивителни фигури присъстват навсякъде. Природата се създава от самоподобни цифри, просто не я забелязваме. Достатъчно е да погледнем през лупа върху кожата или листата на едно дърво и ще видим фрактали. Или вземете например ананас или опашка на паун - те се състоят от подобни фигури. Разнообразие от броколи броколи Романскику обикновено удивлява външния си вид, защото наистина може да се нарече чудо на природата.

Музикална пауза

Оказва се, че фракталите не са само геометрични фигури, те могат да бъдат звуци. И така, музикантът Джонатан Колтън пише музика, използвайки фрактални алгоритми. Той твърди, че такава мелодия съответства на естествената хармония. Композиторът издава всичките си произведения под лиценза CreativeCommons Attribution-Noncommercial, който осигурява безплатно разпространение, копиране, прехвърляне на произведения от други лица.

Индикатор фрактал

Тази техника е намерила много неочаквано приложение. Въз основа на това е създаден инструмент за анализ на пазара на фондовия пазар и в резултат на това той се използва на Форекс пазара. Сега индикаторът-фрактал е на всички платформи за търговия и се използва в търговското оборудване, което се нарича ценови пробив. Разработи тази техника от Бил Уилямс. Тъй като авторът коментира своето изобретение, този алгоритъм е комбинация от няколко "свещи", в които централната отразява максималната или обратната, минималната крайна точка.

В заключение

Затова погледнахме какво е фракталът. Оказва се, че в хаоса, който ни заобикаля, всъщност има идеални форми. Природата е най-добрият архитект, идеалният строител и инженер. Той е подреден съвсем логично и ако не можем да намерим закона, това не означава, че то не съществува. Може би трябва да го търсите в различен мащаб. С увереност можем да кажем, че фракталите поддържат много тайни, които просто трябва да отворим.