Химета на Риман. Разпределението на примесите

През 1900 г. един от най-великите учени от миналия век Дейвид Гилбърт

Единственият проблем, който се оказал между двата списъка с пъзели, който е бил в продължение на много векове на разтревожени учени, е хипотезата на Риман. Тя все още чака решението си.

Кратка биография

Георг Фридрих Бернхард Риман е роден през 1826 г. в Хановер, в голямото семейство на беден пастор и е живял само 39 години. Той успя да публикува 10 произведения. Въпреки това, през целия си живот Риман е смятан за наследник на неговия учител Йоханес Гаус. На 25-годишна възраст младият учен защитава тезата "Основи на теорията на функциите на сложна променлива". По-късно той формулира своята хипотеза, която стана известна.

Премиерни номера

Математиката се появява, когато човек се научи да брои. В същото време се появиха първите идеи за числата, които по-късно се опитаха да класифицират. Беше наблюдавано, че някои от тях имат общи свойства. По-специално, сред естествените номера, т.е. тези, които се използват при броене (номериране) или обозначаване на броя на обектите, е избрана група от тези, които са били разделени само на един и сами. Те бяха наречени прости. Ексклузивно доказателство за теоремата за безкрайността на набор от такива числа е дадено от Евклид в неговите "Елементи". В момента търсенето им продължава. По-специално, най-големият от вече познатите е номер 2^{74 207 281} - 1.

Формулата на Ойлер

Наред с концепцията за безкрайността на множеството от примеси, Евклид също така дефинира втората теорема за единствената възможна фабрикация. Според него всяко положително цяло число е продукт на само един набор от примеси. През 1737 великият немски математик Леонард Ойлер изразява първата теорема на Евклид за безкрайността под формата на формулата, представена по-долу.

Тя се нарича zeta функция, където s е константа, а p има всички прости стойности. Твърдението на Евклид за уникалността на разграждането също произтича директно от него.

Функцията "Риман" зета

Формулата на Ойлер за по-подробно изследване е доста изненадващо, тъй като определя съотношението между прости и цели числа. В действителност, от лявата му страна, безкрайно много изрази се умножават, в зависимост само от простите, а отдясно има сума, свързана с всички положителни числа.

Риман отиде по-далеч от Ойлер. За да намери ключ към проблема с разпределението на числата, той предложи да се определи формулата за реални и сложни променливи. По-късно е наречена функцията на Риман. През 1859 г. ученият публикува статия, озаглавена "На брой премиерни числа, които не надвишават определена стойност", където обобщава всичките си идеи.

Риман предлага да се използва серията Ойлер, конвергентна за всеки реален s> 1. Ако една и съща формула се използва за сложни и, а след поредицата ще се сближат, за всяка стойност на променливата с истинската част е по-голяма от 1. Риман използва аналитичната продължаване на процедурата, чрез разширяване на определението на зета (а) за всички комплексни числа, но "хвърляне" единица. Изключена е, защото за s = 1 функцията zeta се увеличава до безкрайност.

Практическо значение

Възниква логически въпрос: какво е интересно и важно е зета функцията, която е ключова в работата на Риман по нулевата хипотеза? Както е известно, в момента няма опростен модел, който да описва разпределението на първостепенните числа между естествените числа. Риман е успял да открие, че числото pi (x) на първо число, което не надвишава x се изразява чрез разпределението на нетривиалните нули на функцията zeta. Освен това, хипотезата на Риман е необходимо условие за доказване на времевите оценки на изпълнението на някои криптографски алгоритми.

Химета на Риман

Една от първите формулировки на този математически проблем, която до този момент не е доказана, звучи така: нетривиалните 0 зета функции са сложни числа, като реалната част е равна на frac12-. С други думи, те се намират в права линия Re s = frac12-.

Съществува и генерализирана хипотеза на Риман, която е същото твърдение, но за обобщения на зета-функции, които обикновено се наричат ​​Dirichlet L-функции (виж снимката по-долу).

Във формулата chi- (n) е някакъв цифров знак (модул k).

Решението Riemannian се счита за така наречената нулева хипотеза, тъй като е проверена за съответствие с вече наличните примерни данни.

Както Рьоман разсъждава

Забележката на немския математик първоначално е формулирана по-скоро небрежно. Факт е, че по това време ученият щеше да докаже теоремата за разпространението на премиерни номера и в този контекст тази хипотеза нямаше особено значение. Въпреки това ролята му в решаването на много други въпроси е огромна. Ето защо допускането на Риман в момента от много учени е признато за най-важният от недоказаните математически проблеми.

Както беше казано, за да се докаже теоремата за разпространението на пълната Риман хипотеза не е необходимо, и съвсем логично се докаже, че реалната част на който и да е нетривиална нула на Зита функция е между 0 и 1. Този имот означава, че сумата от всички 0-m zeta функциите, които се появяват в точната формула, дадена по-горе, е крайна константа. За големи стойности на x, тя може да бъде напълно изгубена. Единственият член на формулата, който остава непроменен дори при много голям x, е самият x. Останалите сложни термини в сравнение с него асимптотично изчезват. По този начин претеглената сума има тенденция към x. Това обстоятелство може да се счита за потвърждение на истината на теоремата за разпределението на първостепенните числа. По този начин, нулите на Riemann zeta-функцията имат специална роля. Тя се състои в доказването, че тези стойности не могат да дадат значителен принос за формулата за разширяване.

Последователи на Риман

Трагичната смърт от туберкулоза не позволи на този учен да донесе своята програма до логичното си заключение. Въпреки това, той е поет от батальона на Ш. Де ла Ваус Пусин и Жак Хадамар. Независимо един от друг, те извличат теорема за разпространението на първични номера. Хадамард и Пусин успяха да докажат, че всички нетривиални 0 зета функции са в критичната група.

Благодарение на работата на тези учени, се появи нова посока по математика - теория на аналитичните числа. По-късно други изследователи получиха малко по-примитивни доказателства за теоремата, върху която работеше Риман. По-конкретно, Pal Erdez и Atle Selberg откриват дори една много сложна логическа верига, която го потвърждава, което не изисква използването на сложен анализ. Въпреки това, по това време няколко важни теорема вече са доказани чрез идеята на Riemann, включително сближаването на много функции на теорията на числата. В това отношение новата работа на Ердос и Атле Селберг почти нямаше ефект.

Едно от най-простите и красиви доказателства за проблема беше открито през 1980 г. от Доналд Нюман. Тя се основава на добре известната теорема на Cauchy.

Дали римемнската хипотеза застрашава основите на съвременната криптография?

Криптирането на данни е възникнало с появата на йероглифи, по-точно те могат да бъдат считани за първите кодове. В момента има цяла дигитална криптография, която се развива алгоритми за криптиране.

Обикновените и "полупрости" номера, т.е. тези, които се делят само на 2 други номера от един и същи клас, са в сърцето на система с публичен ключ, известна като RSA. Тя има най-широко приложение. По-специално, той се използва при генериране на електронен подпис. Ако искаме да говорим по термини, достъпни за "чайници", хипотезата на Риман утвърждава наличието на система за разпределение на първични номера. По този начин, стабилността на криптографските ключове, на която зависи сигурността на онлайн транзакциите в областта на електронната търговия, е значително намалена.

Други нерешени математически проблеми

Завършването на статията струва, като посвети няколко думи на други задачи на хилядолетието. Те включват:

• Равнопоставеност на класовете P и NP. Проблемът е формулиран по следния начин: ако положителният отговор на даден въпрос е проверен за полиномно време, вярно ли е, че самият отговор на този въпрос може да бъде намерен бързо?
• Hodge хипотеза. По-просто казано може да се каже, както следва: за някои видове проективни алгебрични колектори (интервали) Ходж цикли са комбинации от предмети, които имат геометрична интерпретация, т.е. алгебрични цикли ...
• Понятието "Поанкар". Това е единствената от хилядолетните задачи, доказани досега. Според него всеки триизмерен обект, който има специфични свойства на 3-измерна сфера, трябва да бъде сфера до деформация.
• Твърдението на квантовата теория на Янг-Милс. Необходимо е да се докаже, че квантовата теория, развивана от тези учени за пространството R ⁴, съществува и 0-ти масов дефект за всяка проста габаритна компактна група G.
• Изводът на Бърч-Суиннертън-Дайър. Това е друг проблем, свързан с криптографията. Става въпрос за елиптични криви.
• Проблемът за съществуването и гладкостта на решенията на уравненията на Navier-Stokes.

Сега знаете хипотезата на Риман. С прости думи, формулирахме и някои от другите задачи на хилядолетието. Фактът, че те ще бъдат решени или ще бъде доказано, че нямат решение, е въпрос на време. И е малко вероятно, че това ще трябва да чака твърде дълго, тъй като математиката все повече използва компютърните възможности на компютрите. Не всичко обаче е обект на технология, а за решаване на научните проблеми, първо се изисква интуиция и креативност.