Неразрешени проблеми: уравненията на Navier-Stokes, предположенията на Ходж, хипотезата за Риман. Целите на хилядолетието

Неразрешените задачи са 7 интересни математически проблеми. Всеки от тях беше предложен своевременно от известни учени, като правило, под формата на хипотези. В продължение на десетилетия, над тяхното решение, те разбиват главите на математиката по целия свят. Тези, които успеят, ще бъдат възнаградени с наградата за милиони долари, предложена от Института Клей.

праистория

В 1900 великият германски математик-генерал Дейвид Гилбърт представи списък с 23 проблема.

Проучванията, проведени за решаването им, оказват огромно влияние върху науката от 20-ти век. В момента повечето от тях вече са престанали да бъдат загадки. Сред неразредените или решени частично остават:

• съгласуваността на аритметичните аксиоми;
• общ закон за реципрочност относно пространството на всяка област;
• математическо изследване на физическите аксиоми;
• Изучаването на квадратични форми за произволни алгебрични числови коефициенти;
• Проблемът за строго обосноваване на геометрията на смятане на Фьодор Шуберт;
• и други.

Следва неочаквано: проблемът с разширяването до всеки алгебричен домейн на рационалността на известната теорема на Kronecker и хипотезата на Риман.

Институтът за глина

Под това име е известна частна организация с нестопанска цел, чието седалище се намира в Кеймбридж, Масачузетс. Тя е основана през 1998 г. от Харвардския математик А. Джефи и бизнесмена Л. Клей. Целта на Института е да популяризира и развива математическите знания. За да го постигне, организацията издава награди на учени и спонсори, обещаващи изследвания.

В началото на 21-и век Математическият институт на Клей предлага наградата на тези, които решават проблемите, които са известни като най-трудните неразрешими проблеми, наричайки им списък на проблемите на наградата на хилядолетието. От "Списък на Хилберт" влязъл само хипотезата за Риман.

Целите на хилядолетието

Списъкът на Института за глина първоначално включваше:

• хипотеза за Hodge цикли;
• уравненията на квантовата теория на Янг-Милс;
• предположението на Poincare;
• проблемът за равнопоставеността на класовете P и NP;
• хипотезата на Риман;
• Navier Stokes уравнения, наличието и гладкостта на нейните решения;
• Проблемът на Бърч-Суиннертон-Дайър.

Тези отворени математически проблеми са от голям интерес, тъй като те могат да имат много практически реализации.

Какво доказа Григорий Перелман

През 1900 г. на известния учен и философ Анри Поанкаре предполага, че всеки просто да се свърже компактен 3-колектор без граница е homeomorphic до сферата на 3-измерна. Неговото доказателство в общия случай не е било за един век. Само през 2002-2003 г. математикът от Петербург Г. Перелман публикува редица статии с решението на проблема Poincare. Те предизвикаха ефекта на взривена бомба. През 2010 г. предположенията Поанкаре е била изключена от списъка на "неразрешен проблем" Клей институт, както и да Перелман е бил поканен да се получи значително възнаграждение се дължи на него, които последният е отказал без да обяснява причините за своето решение.

Най-разбираемо обяснение на това, което може да докаже на руски математик, може да се даде, при условие че поничка (тор), издърпайте гума диск, а след това се опита да дръпне на ръба на обиколката му в един момент. Очевидно това е невъзможно. Друг въпрос е, ако направите този експеримент с топка. В този случай, изглежда е триизмерна сфера, ние получаваме от обиколката на диск закъсал точка хипотетичен кабел е триизмерен в разбирането на обикновения човек, но двуизмерен от гледна точка на математиката.

Poincare предполага, че триизмерната сфера е единственият триизмерен "обект", чиято повърхност може да бъде издърпана в една точка, и Перелман успя да докаже това. По този начин днес списъкът с "Неразрешими задачи" се състои от 6 проблема.

Теорията на Янг-Милс

Този математически проблем е предложен от авторите му през 1954 година. Научната формулировка на теорията има следната форма: за всяка проста компактна габаритна група съществува теорията за квантовото пространство, създадена от Янг и Милс и в същото време има нулева масов дефект.

Говорейки на език, разбираем за обикновения човек, взаимодействията между природни обекти (частици, тела, вълни и т.н.) са разделени на 4 вида: електромагнитни, гравитационни, слаби и силни. В продължение на много години физиците се опитват да създадат обща теория на полето. Трябва да бъде инструмент за обяснение на всички тези взаимодействия. Теорията на Янг-Милс е математически език, с помощта на който стана възможно да се опишат 3 от четирите основни природни сили. Това не важи за гравитацията. Следователно, не може да се предположи, че Янг и Милс са успели да създадат теория на полето.

Освен това, нелинейността на предложените уравнения ги прави изключително трудни за решаване. За малки константи на свързване те могат да бъдат решени приблизително под формата на серия от теории за смущение. Все още не е ясно как тези уравнения могат да бъдат решени със силно свързване.

Уравненията на Navier-Stokes

С помощта на тези изрази са описани процеси като въздушни течения, поток от течности и турбуленция. В някои конкретни случаи вече са намерени аналитични решения на уравнението на Navier-Stokes, но никой не е успял да направи това за генерала. В същото време цифровото моделиране за конкретни стойности на скоростта, плътността, налягането, времето и т.н. ви позволява да постигнете отлични резултати. Надяваме се, че някой ще може да приложи уравненията на Navier-Stokes в обратната посока, т.е. да изчисли параметрите, които ги използват, или да докаже, че няма метод на решение.

Проблемът на Бърч-Суиннертон-Дайър

Категорията "Неразрешени проблеми" включва и хипотезата, предложена от английските учени от университета в Кеймбридж. Дори преди 2300 години древногръцкият учен Евклид даде пълно описание на решенията на уравнението x2 + y2 = z2.

Ако изчислим броя на точките на кривата по модула за всеки от главните числа, получаваме безкраен набор от числа. Ако един конкретен начин за "лепило", че до 1 функция на комплексна променлива, а след това получи Зита функция Хасе-Weil за трета крива на ред, обозначен с буквата L. Тя съдържа информация за поведението на по модул всички прости числа веднага.

Брайън Бърч и Питър Суинтъртън-Дайър са предположили елиптични криви. Според него структурата и броят на нейните рационални решения са свързани с поведението на L-функцията в единицата. Изводът на Birch-Swinnerton-Dyer, който все още не е показан, зависи от описанието на алгебричните уравнения от трета степен и е единственият относително прост общ метод за изчисляване на ранга на елиптичните криви.

За да се разбере практическото значение на тази задача, достатъчно е да се каже, че в съвременната криптография един цял клас асиметрични системи се основава на елиптични криви и тяхното използване се основава на вътрешни стандарти за цифрови подписи.

Равенството на класовете p и np

Ако останалите "Предизвикателства на хилядолетието" са чисто математически, то това се отнася до текущата теория на алгоритмите. Проблемът, свързан с равнопоставеността на класовете p и np, известен също като проблема Кук-Левин, може да бъде формулиран на ясен език по следния начин. Да предположим, че положителният отговор на определен въпрос може да бъде проверен доста бързо, т.е. в полиномно време (PV). След това е правилното изявление, че отговорът към него може да се намери доста бързо? Още по-лесно тази задача това звучи така: Наистина ли е по-лесно да се провери проблемът, отколкото да се намери? Ако равнопоставеността на класовете p и np бъде доказана, тогава всички проблеми на подбора могат да бъдат решени за PV. В момента много експерти се съмняват в истината за това твърдение, въпреки че не могат да докажат обратното.

Химета на Риман

До 1859 г. не се открива никаква закономерност, която да описва как простите числа се разпределят между естествените числа. Може би това се дължи на факта, че науката е ангажирана и с други въпроси. Въпреки това до средата на 19 век ситуацията се е променила и те са се превърнали в един от най-важните, с които математиката започва да се занимава.

Хипотезата на Риман, която се е появила в този период, е предположението, че има определена закономерност в разпределението на първите.

Днес много съвременни учени вярват, че ако бъде доказано, ще бъде необходимо да се преразгледат много от основните принципи на съвременната криптография, които формират основата на голяма част от механизмите на електронната търговия.

Според предположението на Риман, естеството на разпределението на примитивите вероятно е значително по-различно от това, което се предполага, че е в момента. Факт е, че досега не е била открита никаква система при разпределението на първичните номера. Например, има проблем с "близнаците", разликата между които е равна на 2. Тези числа са 11 и 13, 29. Други примеси формират клъстери. Това са 101, 103, 107 и т.н. Учените отдавна подозират, че такива клъстери съществуват сред много големи числа. Ако бъдат намерени, устойчивостта на съвременните крипто-ключове ще бъде под въпрос.

Хипотеза за цикли на Ходж

Този нерешен проблем е формулиран през 1941 г. Ходж хипотезата предлага възможността за сближаване на формата на всеки обект чрез "слепване" на прости тела с по-голямо измерение. Този метод е известен и успешно използван дълго време. Не е известно до каква степен може да се направи опростяване.

Сега знаете какви несъществуващи проблеми съществуват в момента. Те са обект на изследвания от хиляди учени по целия свят. Остава да се надяваме, че в близко бъдеще те ще бъдат решени и тяхното практическо приложение ще помогне на човечеството да влезе в нов кръг на технологичното развитие.