Парадоксът на Ръсел: история, примери, формулировка

Парадоксът на Ръсел представлява две взаимозависими логически антиномии.

Две форми на парадокса на Ръсел

Най-често обсъжданата форма е противоречието в логиката на множествата. Някои, изглежда, могат да бъдат членове на себе си, а други - не. Комплектът от всички комплекти сам по себе си е набор, затова изглежда, че той се отнася до себе си. Нулеви или празни, обаче, не трябва да бъдете член на себе си. Ето защо наборът от всички набори, като нула, не влиза в себе си. Парадоксът възниква във въпроса дали комплектът е член на себе си. Това е възможно, ако и само ако не е така.

Друга форма на парадокс е противоречието по отношение на свойствата. Някои имоти изглежда принадлежат на себе си, докато други не. Собствеността като собственост сама по себе си е собственост, докато собствеността на котката не е собственост на нея. Помислете за собствеността на имот, който не се отнася за себе си. Приложимо ли е за себе си? Отново, от всяко предположение следва обратното. Парадоксът е кръстен на Бертран Ръсел (1872-1970), който го открива през 1901 г.

история

Намерението на Ръсел се случи по време на работата му върху "Принципите на математиката". Въпреки че той открива парадокса самостоятелно, има доказателства, че други математици и разработчици на теорията на множествата, включително Ернст Зермело и Дейвид Хилберт, знаеше за първата версия на противоречието пред него. Ръсел обаче е първият, който обсъжда парадокса в публикуваните му произведения, първо се опитва да формулира решения и е първият, който напълно оценява значението му. Цялата глава от "Принципите" беше посветена на обсъждането на този въпрос и приложението бе посветено на типовата теория, която Ръсел предложи като решение.

Ръсел открива "лъжливия парадокс", като се има предвид, че теоремата на Cantor определя, че силата на всеки комплект е по-малка от тази на неговите подгрупи. Най-малко в даден домейн трябва да има толкова подгрупи, колкото елементите в него, ако за всеки елемент една подмножество е набор, съдържащ само този елемент. В допълнение, Cantor доказа, че броят на елементите не може да бъде равен на броя на подгрупите. Ако те имат един и същ брой, тогава ще трябва да има функция ƒ, която да пресметне елементите на техните подгрупи. В същото време може да се докаже, че това е невъзможно. Някои елементи могат да се показват от функцията ƒ върху подгрупи, които ги съдържат, докато други не могат.

Обмислете подмножество от елементи, които не принадлежат на изображенията им, в които са картирани. Тя сама по себе си е подмножество от елементите и затова функцията ƒ ще трябва да я пресметне на някакъв елемент в областта. Проблемът е, че тогава възниква въпросът дали този елемент принадлежи към подгрупата, към който е изобразен. Това е възможно само ако не принадлежи. Парадоксът на Ръсел може да се разглежда като пример на същата линия на разсъждения, опростена. Какви са наборите или подмножествата от сетове? Изглежда, че трябва да има повече набори, тъй като всички подмножества сами са съвкупности. Но ако теоремата на Кантор е истина, тогава трябва да има повече подгрупи. Ръсел смята за най-простото картографиране на набори върху себе си и прилага канторианския подход към разглеждането на набор от всички тези елементи, които не принадлежат към наборите, в които са картирани. Картата на Ръсел се превръща в набор от всички набори, които не влизат в себе си.

Грешка Frege

"Парадоксът на лъжец" имаше дълбоки последствия за историческото развитие на теорията на множествата. Той показа, че концепцията за универсален набор е изключително проблематична. Той също така постави под въпрос идеята, че за всяко определено условие или предикат може да се предположи наличието на съвкупност от онези неща, които удовлетворяват това условие. Вариант парадокс относно имотите - естествено продължение на залез версия - повдига сериозни съмнения относно това дали е възможно да се спори за обективното съществуване на собственост или универсален съответствието на всеки определя от състоянието, или сказуемото.

Скоро се откриват противоречия и проблеми в произведенията на тези логици, философи и математици, които правят подобни предположения. През 1902 г., Ръсел установено, че вариант на парадокса може да се изрази в логическа система, разработена в том I на "Основи на аритметиката" Готлоб Фреге, един от основните работи по логиката на края на XIX - началото на XX век. Във философията на Фреж комплектът се разбира като "разширение" или "обхват на смисъла" на концепцията. Концепциите са най-близките корелати с имоти. Предполага се, че те съществуват за всяка дадена държава или предикат. По този начин има представа за набор, който не попада в неговата дефинираща концепция. Съществува и класа, дефинирана от тази концепция, и тя попада под дефиниращата концепция само ако не е така.

Ръсел пише на Фрей за това противоречие през юни 1902 г. Кореспонденцията става един от най-интересните и обсъждани в историята на логиката. Фреж веднага разпозна катастрофалните последици от парадокса. Той обаче отбеляза, че версията на противоречието относно свойствата в неговата философия е решена чрез разграничаване на нивата на понятия.

Концепцията за Фреж се разбира като функция на прехода от аргументите към истинските ценности. Понятията на първото ниво приемат обекти като аргументи, понятията от второ ниво приемат тези функции като аргументи и т.н. По този начин понятието никога не може да се възприеме като аргумент, а парадоксът по отношение на свойствата не може да бъде формулиран. Независимо от това, множества, разширения или концепции бяха разбрани от Фреж като принадлежащи към същия логичен тип като всички други обекти. Тогава за всеки комплект възниква въпросът дали той попада под концепцията, която го дефинира.

Когато Фрей получи първото писмо на Ръсел, вторият том на "Основите на аритметиката" вече свърши. Той бе принуден бързо да подготви заявление, което да отговори на парадокса на "Ръсел". Примерите на Фреге съдържаха редица възможни решения. Но той стигна до заключение, което отслаби идеята за абстракция на набор в логическа система.

В оригинала беше възможно да се стигне до извода, че даден обект принадлежи на набор, ако и само ако попадне в концепцията, която го определя. В ревизираната система може да се заключи само, че даден обект принадлежи към набор, ако и само ако попада в понятието за дефиниращ набор, а не в съответния комплект. Парадоксът на Ръсел не възниква.

Решението обаче не задоволява Фреге. И това беше причината. Няколко години по-късно, за ревизирана система, беше намерена по-сложна форма на противоречие. Но още преди това Фреж отказа решението си и изглежда, стигна до извода, че неговият подход просто е бил безполезен и че логиците щяха да се направят без набори.

Въпреки това бяха предложени други, относително по-успешни алтернативни решения. Те са обсъдени по-долу.

Типова теория

Беше отбелязано по-горе, че Фреж е имал адекватен отговор на парадоксите теория на множествата в варианта, формулиран за свойствата. Отговорът на Фрег предшестваше най-често обсъжданото решение на тази форма на парадокс. Тя се основава на факта, че свойствата попадат в различни типове и че видът на имуществото никога не е същият като елементите, за които се отнася.

По този начин не става въпрос дори дали имуществото е приложимо за себе си. Логически език, който разделя елементи от такава йерархия, използва теорията на типа. Въпреки че вече е използвана от Фреж, първото е напълно обяснено и обосновано от Ръсел в Приложението към Принципите. Теорията на типовете е по-пълна от разликата между нивата на Фреге. Тя разделя свойствата не само на различни логически типове, но и на множества. Теорията на типовете решава противоречието в парадокса на Ръсел, както следва.

За да бъдем философски адекватни, приемането на типовата теория за свойствата изисква разработването на теория за природата на имотите по такъв начин, че да можем да обясним защо не могат да бъдат приложени за себе си. На пръв поглед има смисъл да обозначавате собствената си собственост. Същността на самоопределянето, изглежда, също е идентична. Имотът да бъдеш приятно изглежда приятен. По подобен начин, очевидно изглежда измамно да се каже, че собствеността на котката е котка.

Въпреки това, различни мислители обосноваха разделянето на типовете по различни начини. Ръсел дори дава различни обяснения в различни периоди от кариерата си. От своя страна, обосновката на разделянето на Фреге на различни нива на понятия произтича от неговата теория за ненасищане на концепции. Концепциите, като функции, са по същество непълни. За да предоставят стойност, те се нуждаят от аргумент. Човек не може просто да предсказва една концепция от понятие от същия тип, защото все още се нуждае от неговия аргумент. Например, въпреки че все още е възможно да извлечете квадратния корен от квадратния корен на определено число, не е възможно просто да приложите функцията квадратен корен към функцията квадратен корен и да получите резултата.

За консерватизма на имоти

Друго възможно решение на парадокса на собствеността е отричането на съществуването на имот в съответствие с каквито и да било условия или добре оформена предикат. Разбира се, ако някой избегне метафизичните свойства като обективни и независими елементи като цяло, тогава ако приемем номиналността, парадоксът може да бъде напълно избегнат.

Въпреки това, за да разрешите антиномията, не е нужно да сте толкова крайни. Логически системи по-висок порядък, разработени Фреге и Ръсел, съдържат това, което се нарича концептуален принцип, според който всеки отворен формули независимо от това колко сложна съществува като част от един имот или концепция за пример, само тези елементи, които съответстват на формулата. Те бяха приложени към атрибутите на всеки възможен набор от условия или предикати, без значение колко сложни са те.

Независимо от това, че е възможно да се вземе на по-стриктен метафизиката имоти, даващи право на обективното съществуване на прости свойства, включително, например, като червено, твърдост, доброта и така нататък. D. Можете дори да споделите с тези свойства се прилагат за себе си, като доброта може бъдете мили.

И същия статут за комплексни качества може да се отрече, например, такива "качества", тъй като има седемнадесет глави, се написан под вода и други подобни. D. В този случай, не предварително зададено условие не отговаря на имота, се разбира като отделно Съществуващ елемент, който има свои собствени свойства. По този начин не може да отрече съществуването на прости свойства бъде, собствености и че-не-се прилага към себе си и да се избегне парадокс чрез прилагане на по-консервативни метафизични свойства.

Парадоксът на Ръсел: решението

Беше отбелязано по-горе, че в края на живота си Фрей напълно изостави логиката на сета. Това, разбира се, е едно решение на антиномията под формата на множества: просто отричане на съществуването на такива елементи като цяло. Освен това има и други популярни решения, основните подробности от които са представени по-долу.

Теория на типовете за сетове

Както бе споменато по-рано, Ръсел се застъпи за по-пълна теория за типовете, която би отделила не само свойствата или понятията в различни типове, но и множества. Ръсел разделя множествата на множества от отделни обекти, множества от множество отделни обекти и т.н. Комплектите не се считат за обекти и комплекти от комплекти са комплекти. Комплектът никога не е имал вид, който да си позволява да бъде член. Следователно, няма съвкупност от всички набори, които не са правилни, защото за всеки набор въпросът дали е член е само по себе си нарушение на типа. Отново проблемът тук е да се изясни метафизиката на сериите, за да се обяснят философските основи на разделението на типове.

стратификация

През 1937 г. VV Quine предложи алтернативно решение, по някакъв начин подобно на теорията на видовете. Основната информация за него е следната.

Разделянето от елемент, сетове и т.н. се извършва по такъв начин, че предположението за намиране на комплекта сам по себе си винаги е грешно или безсмислено. Комплектите могат да съществуват само при условие, че условията, които ги дефинират, не са нарушение на типовете. Така, за Quine, изразът "х не е член на х" е важно изказване, което не предполага наличието на множеството от всички елементи x, които отговарят на това условие.

В тази система съществува набор за някои отворен формула А, ако и само ако е стратифицирана, т. Е. Ако променливите са определени положителни числа, така че за всяка характеристика възникване на множество от предходните това променлива се определя задача единица по-малка от променливата, след него. парадокс Това блокове на Ръсел, тъй като формулата, използвана за определяне на набор проблем, там е същото, преди и след знака на променливата членство което го прави unstratified.

Остава обаче да се определи дали последващата система, която Куин нарече "Нови основи на математическата логика", е последователна.

отхвърляне

В теорията на Zermelo-Fraenkel (ZF) е възприет напълно различен подход. Тук също така се установява ограничение за съществуването на набори. Вместо това, се доближава до "отгоре-надолу" на Ръсел и Фреге, които първоначално мислех, че за всички понятия, свойства, или условия, може да предложи на съществуването на множеството на всички неща с този имот, или за постигане на такова състояние, в ZF-теория, всичко започва "от долу нагоре".

Отделните елементи и празният комплект формират набор. Затова, за разлика от ранните системи на Ръсел и Фреж, FT не принадлежи към универсалния комплект, който включва всички елементи и дори всички набори. FT поставя строги ограничения върху съществуването на комплекти. Може да съществуват само онези, за които то е изрично постулирано или което може да бъде съставено чрез итеративни процеси и т.н.

След това, вместо наивно набора концепция абстракция, който гласи, че даден елемент е включен в комплекта, ако и само ако отговаря на условията по принципа на разделяне се използва DF, раздяла или "сортиране". Вместо да се предположи съществуването на множеството на всички елементи, които са без изключение отговаря на определено състояние, за всеки съществуващ набор от Aussonderung показва наличието на подмножество на всички елементи в оригиналния комплект, който отговаря на условията.

След това идва абстракция принцип: ако съществува зададете, а след това, за всички х в А, х принадлежи към подгрупа А, който отговаря на условията, ако и само ако х удовлетворява условието C. Този подход решава парадокс Ръсел, тъй като ние не може просто да се предположи, това е наборът от всички набори, които не са членове на себе си.

Да разполагаш с много набори, можете да изберете или го разделете на комплекти, които сами по себе си, както и тези, които не са такива, но тъй като не съществува универсален комплект не сме обвързани набор от всички комплекти. Без допускането на зададения проблем на Ръсел не може да се докаже противоречие.

Други решения

В допълнение, че е имало последващи разширения или модификации на тези решения, като например теорията вилица тип на "Принципи на математиката" разширителни система "Математическа логика" Куайн, както и по-новите развития в теорията на множествата, направен Bernays, Гьодел и фон Нойман. Въпросът за това дали отговорът на неразтворим парадокс Бъртранд Ръсел намери, все още е въпрос на дебат.