Редовна полихедра: елементи, симетрия и област

Геометрията е красива в това, че за разлика от алгебра, където не винаги е ясно какво и защо мислите, тя дава видимостта на обекта. Този невероятен свят от различни тела е украсен с обикновена полихедра.

Обща информация за редовните полиhedra

Според мнозина, редовните полихедри или, както се наричат ​​платонични тела, имат уникални свойства. Няколко научни хипотези са свързани с тези обекти. Когато започнете да изучавате тези геометрични тела, разбирате, че практически не знаете нищо за такава концепция като обикновена полихедрия. Представянето на тези предмети в училището не винаги е интересно, тъй като мнозина дори не си спомнят как се наричат. В паметта на повечето хора остава само кубчето. Нито едно от телата в геометрията няма такова съвършенство като обикновената полихедра. Всички имена на тези геометрични тела произхождат от Древна Гърция. Те представляват броят на лицата: тетраедър - четиристранна, шестостен - Алън, октаедър - осмоъгълник, додекаедър - dodecahedral, icosahedron - двадесетопръстен. Всички тези геометрични тела заемат най-важното място в концепцията за Платон за Вселената. Четири от тях са въплътени елементи или юридически лица: тетраедър - огъня, на icosahedron - вода куб - Земята, октаедър - въздух. Додекаедърът въплъщава всичко, което съществува. Той бил смятан за основен, защото бил символ на Вселената.

Обобщение на понятието полиедър

Многоъгълникът е колекция от ограничен брой полигони, така че:

• всяка страна на който и да е от полигоните е едновременно страна на само един друг полигон по същата страна;
• от всеки от полигоните може да се стигне до другия чрез преминаване покрай полигони, съседни на него.

Полигоните, които съставят полиедъра, са лицата му, а страните им са краищата. Многоъгълните върхове са върховете на полигоните. Ако понятието за многоъгълник се разбира като равнина, затворена многоъгълна линия, тогава те стигат до едно и също определение на многоъгълник. В случая, когато този термин означава част от равнината, която е ограничена от прекъснати линии, е необходимо да се разбере повърхността, състояща се от многоъгълни парчета. Изпъкнал многоъгълник Тялото, лежащо от едната страна на самолета, прилежащо към лицето му, се нарича.

Друга дефиниция на полиедър и неговите елементи

Полиедърът е повърхност, състояща се от полигони, които свързват геометрично тяло. Те са:

• не-изпъкнали;
• изпъкнало (правилно и погрешно).

Редов полиедър е изпъкнал многоъгълник с максимална симетрия. Елементи на обикновена полиедра:

• тетраедър: 6 ръба, 4 лица, 5 върха;
• хексахедър (куб): 12, 6, 8;
• додекаедър: 30, 12, 20;
• октахедър: 12, 8, 6;
• икозаедър: 30, 20, 12.

Теоремата на Ойлер

Той установява връзка между броя на краищата, върховете и лицата, топологически еквивалентни на сфери. Добавянето на броя на върховете и лица (B + D) имат различна редовен polyhedra и сравняването им с броя на ребрата, е възможно да се създаде едно правило: сумата от броя на лицата, равни на броя на върховете и ръбовете (Р) се увеличава с 2. Възможно е да се получи една проста формула:

• B + F = P + 2.

Тази формула е вярна за всички изпъкнали полиhedra.

Основни дефиниции

Концепцията за редовен полиедър не може да бъде описана с едно изречение. Тя е по-полисемантична и обемна. За да бъде органът признат като такъв, е необходимо той да съответства на редица дефиниции. По този начин геометричното тяло ще бъде редовен полиедър, когато са изпълнени следните условия:

• тя е изпъкнала;
• Същият брой ръбове се събира при всеки от върховете му;
• всичките му лица са правилни полигони равни една на друга;
• всичките й странични ъгли са равни.

Свойства на обикновените полихедра

Има 5 различни типа редовни полиhedra:

1. Куб (hexahedron) - той има плосък ъгъл на върха на 90 °. Той има триъгълен ъгъл. Сумата на ъглите на равнината при върха е 270 °.
2. Тетраедърът е плосък ъгъл на върха на 60 °. Той има триъгълен ъгъл. Сумата от равнинните ъгли на върха е 180 °.
3. Октаедърът е плосък ъгъл на върха на 60 °. Той има ъгъл 4-ъгъл. Сумата от плоските ъгли на върха е 240 °.
4. Додекаедронът е плосък ъгъл на върха на 108 °. Той има триъгълен ъгъл. Сумата от равнинните ъгли на върха е 324 °.
5. Icosahedron - има плосък ъгъл в горната част - 60 °. Той има 5-ъгъл. Сумата от равнинните ъгли на върха е 300 °.

Област на редовните многоелементи

Повърхностната площ на тези геометрични тела (S) се изчислява като площта на редовен многоъгълник, умножена по броя на неговите лица (G):

• S = (а: 2) х 2G ctg pi- / p.

Обемът на обикновен полиедър

Тази стойност се изчислява чрез умножаване на обема на редовен пирамида, чиято основа е правилен многоъгълник, броят на лицата, а височината му е вписан радиуса на сферата (с):

• V = 1: 3rS.

Обеми на обикновена полихедрия

Както всяко друго геометрично тяло, редовните полихедри имат различни обеми. По-долу са формулите, с които те могат да бъдат изчислени:

• тетраедър: алфа-х 3radic-2: 12;
• осмостенник: алфа-х 3radic-2: 3;
• ikosaedr- алфа-х 3;
• хексахедър (куб): 5 х алфа-х 3 х (3 + radic-5): 12;
• додекаедър: алфа-х 3 (15 + 7radic-5): 4.

Елементи на обикновена полиедра

Хексахедронът и октаедърът са двойни геометрични тела. С други думи, те могат да се получат един от друг в случаите, когато центърът на тежестта на лицето на единия се приема като върха на другия и обратно. Също така, икозаедърът и додекаедронът са двойни. Само един тетраедър е двоен за себе си. По метода на Евклид може да се получи додекаедър от хексахедър чрез изграждане на "покриви" по лицата на куба. Върховете на тетраедъра са 4 върха на куба, които не са съседни по двойки по ръба. От хексахедрон (куб) е възможно да се получи друга редовна полихедра. Въпреки факта, че регулярни полигони има безброй, има само 5 обикновени полихедра.

Радии на редовните полигони

С всяко от тези геометрични тела са свързани 3 концентрични сфери:

• описана, преминаваща през върховете му;
• Той е написан, докосвайки всеки от лицата му в центъра му;
• Средно, докосвайки всички ребра в средата.

Радиусът на описаната сфера се изчислява по следната формула:

• R = a: 2 х tg pi- / g x tg тета: 2.

Радиусът на сферата на вписаното се изчислява по формулата:

• R = a: 2 х ctg pi- / px tg тетра-: 2,

където тета- е двустранен ъгъл, който лежи между съседни лица.

Радиусът на сферата на средата може да се изчисли по следната формула:

• rho- = a cos pi- / p: 2 sin pi- / h,

където h е стойност от 4.6, 6.10 или 10. Съотношението между описаните и вписаните радиуси е симетрично по отношение на р и q. Тя се изчислява по формулата:

• R / r = tg pi- / px tg pi- / q.

Симетрия на полиhedra

Симетрията на редовните полиедра предизвиква основния интерес към тези геометрични тела. Това се разбира като такова движение на тялото в космоса, което оставя същия брой върхове, лица и ръбове. С други думи, под действието на трансформацията на симетрията ръбът, връхът или лицето запазват първоначалното си положение или се придвижват до първоначалната позиция на друг ръб, друг връх или лице.

Елементите на симетрията на редовните полиедра са характерни за всички видове геометрични тела. Тук става въпрос за трансформацията на идентичността, която оставя всяка от точките в първоначалната позиция. По този начин при завъртане на полигонална призма могат да бъдат получени няколко симетрия. Всеки от тях може да бъде представен като продукт на отражения. Симетрията, която е продукт на еднакъв брой отражения, се нарича линия. Ако е продукт на нечетен брой отражения, то се нарича обратното. По този начин всички ротации около права линия представляват директна симетрия. Всяко отражение на полиедър е обратна симетрия.

За да разберем по-добре елементите на симетрия на обикновената полихедра, можем да вземем пример за тетраедър. Всяка права линия, която минава през един от върховете и центъра на това геометрична фигура, ще премине през центъра на лицето, противоположно на него. Всяка от усукванията при 120 и 240 ° около линията принадлежи към множествения брой симетрии на тетраедрата. Тъй като има 4 върха и лицата, има само осем директни симетрия. Всяка от правата линии, минаваща през средата на реброто и центъра на тялото, преминава през средата на противоположния й ръб. Всяко въртене на 180 °, наричано половин оборот, около линията е симетрия. Тъй като един тетраедър има три двойки ръбове, тогава има още три директни симетрии. Въз основа на гореизложеното можем да заключим, че общият брой на директните симетрии, включително идентичната трансформация, ще достигне дванадесет. Няма други директни симетрии за тетраедрите, но има 12 обратни симетрии. Следователно, тетраедърът се характеризира само с 24 симетрия. За по-голяма яснота можете да създадете модел от обикновен тетраедър от картон и да се уверите, че това геометрично тяло наистина има само 24 симетрия.

Додекаедрон и икозаедър са телата, които са най-близо до сферата. Икозаедърът има най-голям брой лица, най-големият диадерен ъгъл и най-близко до вписаната сфера. Додекаедронът има най-малкия ъглов дефект, най-големият твърд ъгъл на върха. Той може да запълни описания си обхват колкото е възможно повече.

Разгръщане на полихедрата

Правилните полихедрони на почистването, които всички сме залепили заедно в детството, имат много концепции. Ако има набор от многоъгълници, всяка от които е идентифицирана само с едната страна на полиедрата, тогава идентификацията на страните трябва да съответства на две условия:

• от всеки полигон е възможно да преминем през полигони с идентифицираната страна;
• идентифицируемите страни трябва да имат еднаква дължина.

Това е събирането на многоъгълници, които отговарят на тези условия, което се нарича разгъване на полиедър. Всеки от тези органи има няколко от тях. Така например кубът има 11 парчета.