Polyhedra. Видове полиhedra и техните свойства

Polyhedra не само заема важно място в геометрията, но също така се срещат в ежедневието на всеки човек. Да не говорим, изкуственото свързани елементи в различни полигони, които започват от кибрита и завършващи архитектурни елементи в природата да се появи и кристали във формата на куб (сол), призми (кристал), пирамида (шеелит), октаедър (диамант), и т.н. . г.

Концепцията за полиедър, видовете полихедра в геометрията

Геометрията като наука съдържа част от стереометрията, която изследва характеристиките и свойствата на обемната фигури. геометричен Телата, чиито страни в триизмерното пространство са оформени от ограничени равнини (лица), се наричат ​​"полихедри". Типове полиhedra брой повече от една дузина представители, които се различават по броя и формата на лица.

Въпреки това, всички polyhedra имат общи свойства:

1. Всички те имат 3 интегрални компонента: лицето (полигонната повърхност), върха (ъглите, образувани при сливането на лицата), ръба (страната на фигурата или сегмента, образуван при сливането на двете лица).
2. Всеки край на полигон се свързва с две и само две лица, които са съседни една на друга.
3. Изпъкналостта означава, че тялото е напълно разположено само от едната страна на равнината, на която лежи една от лицата. Правилото е приложимо за всички лица на полиедъра. Такива геометрични фигури в стереометрията се наричат ​​изпъкнали полихедра. Изключение са звездата полихедри, които са производни на редовните полиедрични геометрични тела.

Полиедрата може условно да се раздели на:

1. Видове изпъкнал polyhedra, състоящ се от следните класове: конвенционален или класически (призма, пирамида, кутия), право (наричан още тела на Платон), semiregular (второ име - Archimedean твърди частици).
2. Неконведен полихед (стелат).

Призмата и нейните свойства

Стереометрията като част от геометрията изследва свойствата на триизмерните фигури, типовете полихедра (призма в техния брой). Призмата е геометрично тяло, което задължително има две напълно еднакви лица (наречени също бази), разположени в паралелни равнини, и n-тия брой странични лица под формата на паралелограми. На свой ред, призмата също има няколко сорта, включително такива видове polyhedra като:

1. Паралелепипед - формира, когато основата е успоредник - многоъгълник с двойки от две противоположни равни ъгли и две двойки срещуположни страни еднакви.
2. Права призма има перпендикулярни ръбове към основата.
3. Наклонената призма се характеризира с наличието на непреки ъгли (различни от 90) между лицата и основата.
4. Правилната призма се характеризира с бази във формата регулярен многоъгълник с еднакви странични лица.

Основните свойства на призмата:

• Съответните основи.
• Всички краища на призмата са равни и успоредни един на друг.
• Всички странични лица имат формата на паралелограма.

Пирамидата

Пирамидата е геометрично тяло, което се състои от една основа и n-тия брой триъгълни лица, съединяващи се в една точка - върха. Трябва да се отбележи, че ако страничните лица на пирамидата са представени от триъгълници, тогава в основата може да има триъгълен многоъгълник, четириъгълник и петоъгълник и така нататък ad infinitum. Името на пирамидата ще съответства на многоъгълника отдолу. Например, ако в дъното на пирамидата има триъгълник, това е триъгълна пирамида, четириъгълна е квадрангуларна пирамида и т.н.

Пирамидите са конусовидни многоедра. Видовете полихедри от тази група освен гореизброените включват и следните представители:

1. Една редовна пирамида има редовен многоъгълник в основата и височината й се проектира в центъра на кръг, вписан в основата или описан около нея.
2. Правоъгълната пирамида се оформя, когато един от страничните ръбове се пресича с основата под прав ъгъл. В този случай този ръб също така правилно се нарича височината на пирамидата.

Свойства на пирамидата:

• В случая, когато всички страничните ръбове еднакви пирамиди (на същата височина), всички те се припокриват с основа в един ъгъл и около основата може да се направи окръжност с център съвпада с проекцията на върха на пирамидата.
• Ако има редовен многоъгълник в долната част на пирамидата, тогава всички странични ръбове са еднакви, а лицата са равнобедрени триъгълници.

Правилен полиедър: видове и свойства на полихедрата

При стереометрията, специално място се заема от геометрични тела с абсолютно равни линии, в върховете на които са свързани един и същ брой ръбове. Тези тела се наричат ​​платонични тела или обикновена полихедрия. Видовете полихедри с тези свойства имат само пет цифри:

1. Tetrahedron.
2. Шестостен.
3. Октаедър.
4. Додекаедронът.
5. Icosahedron.

С името си точните полихедри се дължат на гръцкия философ Платон, който описва тези геометрични тела в своите произведения и ги свързва с естествените елементи: земя, вода, огън, въздух. Петата фигура бе отличена с подобие на структурата на Вселената. Според него атомите на природните елементи приличат на формата на обикновените полихедра. Поради своята най-очарователна собственост - симетрия, тези геометрични тела са от голям интерес не само за древните математици и философи, но и за архитекти, художници и скулптори на всички времена. Наличието на само 5 типа полихедри с абсолютна симетрия се считало за фундаментална находка, те дори били присъждани връзка с божественото начало.

Hexahedron и неговите свойства

Във формата на шестоъгълник наследниците на Платон поемат сходство със структурата на атомите на Земята. Разбира се, в настоящия момент тази хипотеза е напълно опровергана, което обаче не пречи на фигурите и в съвременните времена привлича умовете на известни фигури с естетиката си.

В геометрията, хексахедър, също куб, се счита за особен случай на паралелепипед, който на свой ред е вид призма. Съответно, свойствата на куба са свързани със свойствата на призмата с единствената разлика, че всички лица и ъгли на куба са еднакви един с друг. Това предполага следните свойства:

1. Всички краища на куба са еднакви и лежат в паралелни равнини по отношение един към друг.
2. Всички лица са съвпадащи квадрати (в куба има 6), като всеки от тях може да бъде взет като основа.
3. Всички интерфейсни ъгли са равни на 90.
4. От всеки връх идва еднакъв брой ръбове, а именно 3.
5. Кубът има 9 оси на симетрия, които се пресичат в точката на пресичане на диагоналите на хексахедрона, наречена център на симетрия.

тетраедър

Тетраедърът е тетраедър с равни линии под формата на триъгълници, всеки от чиито върхове е точка на свързване на три лица.

Свойства на обикновен тетраедър:

1. Всички лица на тетраедър са равностранен триъгълник, от което следва, че всички лица на тетраедър са еднакви.
2. Тъй като основата е представена от правилната геометрична фигура, т.е. има еднакви страни, тогава лицата на тетраедрата се сливат със същия ъгъл, т.е. всички ъгли са еднакви.
3. Сумата от равнинните ъгли при всеки от върховете е 180, тъй като всички ъгли са равни, тогава всеки ъгъл на обикновения тетраедър е 60.
4. Всеки от върховете се проектира до пресечната точка на височините на противоположното (ортоцентър) лице.

Octahedron и неговите свойства

Описвайки видове редовен polyhedra, следва да се отбележи, че обект като октаедър, които могат да бъдат визуално представени като два залепени четиристранни основи на редовни пирамиди.

Свойства на октаедър:

1. Самото име на геометричното тяло ни показва броя на лицата му. Осмоъгълникът се състои от 8 съпоставими равностранен триъгълници, във всеки връх на които има еднакъв брой лица, а именно 4.
2. Тъй като всички повърхности на октаедър са равни и ъглите intergranal, всеки от които е 60, и сумата от равнинна ъгли на всеки от върховете по този начин е 240.

Додекаедронът

Ако си представим, че всички лица на геометричното тяло са редовен петоъгълник, тогава получаваме един додекаедър - фигура от 12 многоъгълника.

Свойства на додекаедрона:

1. Всеки върх пресича три лица.
2. Всички лица са равни и имат същата дължина на ръбовете, както и равна площ.
3. Додекаедронът има 15 оси и равнини на симетрия и всеки от тях преминава през върха на лицето и средата на противоположния край.

icosahedron

Не по-малко интересен от додекаедрона, икозаедърът е обемно геометрично тяло с 20 равни линии. Сред свойствата на обикновен двулицев може да се отбележи следното:

1. Всички лица на икозаедрата са триъгълници с равнобедрени очертания.
2. Всеки връх на полиедъра се приближава до пет лица, а сумата от съседните ъгли на върха е 300.
3. Икозаедърът, подобно на додекаедрона, има 15 оси и равнини на симетрия, минаващи през центровете на противоположните лица.

Полугодишни полигони

В допълнение към плодоносни твърди вещества, групата на изпъкнала полихедра включва архимедови тела, които са срязани редовни полихедри. Типовете полихедри от тази група имат следните свойства:

1. Геометрично тяло са по двойки равни повърхности на няколко типа например пресечен тетраедър е същата като редовен тетраедър, 8 лица, но в случай тяло 4 Archimedean лица са с триъгълна форма и 4 - шестоъгълна.
2. Всички ъгли на един връх са съвпадащи.

Star polyhedra

Представители на огромните видове геометрични тела са звездата полиhedra, чиито лица се пресичат помежду си. Те могат да бъдат формирани чрез сливането на две редовни триизмерни тела или в резултат на продължаването на лицата им.

По този начин, като е известно, звездообразна polyhedra като: звездообразна форма на октаедър, додекаедър, icosahedron, cuboctahedral, icosidodecahedron.