Районът на основата на призмата: от триъгълна до многоъгълна

Различните призми са различни един от друг. В същото време те имат много общо. За да намерите областта на основата на призмата, ще трябва да разберем какъв вид има.

Обща теория

Призмата е всеки полиедър, чиито страни са успоредни. В този случай всеки полиедър, от триъгълник до n-gon, може да се появи в основата му. И основите на призмата са винаги равни една на друга. Какво не се отнася за страничните лица - те могат да варират значително по размер.

При решаването на проблемите се среща не само областта на основата на призмата. Може да е необходимо да знаете страничната повърхност, т.е. всички лица, които не са основи. Пълна повърхност вече ще бъде обединението на всички лица, които съставляват призмата.

Понякога задачите включват надморска височина. Тя е перпендикулярна на основите. Диагоналът на полиедър е сегмент, който свързва два върха по двойки, които не принадлежат към едно и също лице.

Трябва да се отбележи, че площта на основата на директната призма или наклонена не зависи от ъгъла между тях и страничните лица. Ако те имат едни и същи фигури в горната и долната част на лицето, тогава техните площи ще бъдат равни.

Триъгълна призма

В основата има фигура с три върха, т.е. триъгълник. Както знаете, това се случва да е различно. Ако триъгълник е правоъгълен, тогава е достатъчно да си припомним, че нейната площ се определя от половината от продукта на краката.

Математическото означение е както следва: frac12- Av.

За да се намери областта на основата на триъгълна призма в обща форма, ще бъдат полезни следните формули: Херън и този, в който половината от страната е заета до височината, която е привлечена към нея.

Първата формула трябва да бъде написана като: S = радикал- (р (р-а) (р-с) (р-с)). В този запис има половин-периметър (p), т.е. сумата от три страни, разделена на две.

Вторият: S = frac12- п_и * a.

Ако искате да знаете базовата площ на триъгълна призма, която е правилна, тогава триъгълникът е равностранен. За него има формула: S = frac14-a² * Radic-3.

Квадрангуларна призма

Нейното основание е всеки от известните квадратчета. Тя може да бъде правоъгълник или квадрат, паралелепипед или ромб. Във всеки случай, за да се изчисли площта на основата на призмата, имаме нужда от собствена формула.

Ако основата е правоъгълник, тогава нейната площ се дефинира като: S = av, където а, в - страните на правоъгълника.

Когато става дума за квадрангуларна призма, площта на основата на правилната призма се изчислява по формулата за квадрата. Защото той е, който лежи на дъното. S = a².

В случая, когато базата е паралелепипед, ще е необходимо следното равенство: S = a * n_и. Случва се, че е дадена страната на паралелепипеда и един от ъглите. След това, за да изчислим височината, трябва да използваме допълнителната формула: n_и = в * sin A. Освен това ъгълът А е в съседство със страната "в", а височината н_и срещу този ъгъл.

Ако ромбът е в основата на призмата, а след това да се определи нейната площ, ще бъде необходима същата формула, както за паралелограма (тъй като това е нейният конкретен случай). Но можете да използвате това: S = frac12- г₁ г₂. Тук d₁ и d₂ - два диагонала на ромб.

Правилна петоъгълна призма

Този случай включва разделянето на полигона на триъгълници, чиито области са по-лесни за учене. Въпреки че се случва, че цифрите могат да бъдат с различен брой върхове.

Тъй като основата на призмата е редовен петоъгълник, тя може да бъде разделена на пет равностранени триъгълника. Тогава площта на основата на призмата е равна на площта на един такъв триъгълник (формулата може да се види по-горе), умножена по пет.

Правилна шестоъгълна призма

Съгласно принципа, описан за пентагоналната призма, е възможно да се счупи шестоъгълникът на основата в 6 равностранен триъгълник. Формулата на основната площ на тази призма е подобна на предишната. Само в него площ на равностранен триъгълник трябва да се умножи по шест.

Формулата изглежда така: S = 3/2 a² * Radic-3.

задачи

Правилната квадрангуларна призма е дадена. Неговият диагонал е 22 см, височината на полиедрата е 14 см. Изчислете площта на основата на призмата и цялата повърхност.

Решението. Основата на призмата е квадрат, но нейната страна не е известна. Намерете стойността му може да бъде от диагонала на квадрата (x), който е свързан с диагонала на призмата (d) и неговата височина (n). х² = d² - п². От друга страна, този сегмент "х" е хипотенузата в триъгълника, чиито крачета са равни на страната на квадрата. Тоест, х² = a² + и². По този начин се оказва, че a² = (d² - п²) / 2.

За да смените d с 22 и "n", за да го замените с 14, се оказва, че страната на квадрата е 12 см. Сега просто разберете площта на основата: 12 * 12 = 144 см².

За да разберете областта на цялата повърхност, трябва да добавите два пъти стойността на основната площ и четворната страна. Последното може лесно да се намери от формулата за правоъгълник: умножете височината на полиедрата и страната на основата. Тоест, 14 и 12, това число ще бъде 168 см². Общата площ на призмата е 960 см².

Отговор. Площта на основата на призмата е 144 см². Цялата повърхност е 960 см².

№ 2. Посочва се правилната триъгълна призма. На основата се намира триъгълник със страна от 6 см. В същото време диагоналът на страничното лице е 10 см. Изчислете площта: основата и страничната повърхност.

Решението. Тъй като призмата е правилна, нейната основа е равностранен триъгълник. Следователно площта му е равна на 6 в квадрата, умножена по frac14- и корена на квадрата от 3. Просто изчисление води до резултата: 9radic-3 cm². Това е площта на една основа на призмата.

Всички странични лица са едни и същи и представляват правоъгълници със страни от 6 и 10 см. За да се изчислят техните площи, е достатъчно да се умножат тези числа. След това ги умножете по три, защото има толкова много странични ръбове на призмата. След това площта на страничната повърхност се оказва рана от 180 см².

Отговор. Области: основа - 9radic-3 cm², страничната повърхност на призмата - 180 см².