Как да се изчисли площта на пирамидата: основата, страничната и пълната?

Когато се подготвят за използване в математиката, студентите трябва да систематизират знания за алгебра и геометрия. Искам да съчетая цялата известна информация, например как да изчислявам площта на пирамидата. И започвайки от основата и страничните повърхности до зоната на цялата повърхност. Ако ситуацията със страничните лица е ясна, тъй като те са триъгълници, дъното е винаги различно.

Как да бъдем, когато намерим областта на основата на пирамидата?

Тя може да бъде всякакъв вид фигура: от произволен триъгълник до n-gon. И тази основа, освен разликата в броя на ъглите, може да бъде правилната фигура или погрешна. В училищните задачи, които представляват интерес за учениците, се срещат само работни места с правилните цифри в основата. Затова ще говорим само за тях.

Правилният триъгълник

Това е равностранено. Едната с всички страни е равна и маркирана с буквата "а". В този случай площта на основата на пирамидата се изчислява по формулата:

S = (а² * radic-3) / 4.

квадрат

Формулата за изчисляване на площта й е най-простата, тук "а" отново е страната:

S = a².

Едно произволно редовно n-gon

Страницата на многоъгълника има същото означение. За броя на ъглите използвайте латинската буква n.

S = (п * а²) / (4 * tg (180оорм- / г)).

Какво трябва да направя при изчисляване на площта на страничната и пълната повърхност?

Тъй като основата има правилната фигура, всички лица на пирамидата са еднакви. Освен това, всеки един от тях е равнобедрен триъгълник, тъй като страничните ръбове са еднакви. Тогава, за да изчислим страничната площ на пирамидата, се нуждаем от формула, състояща се от сума от идентични мономиали. Броят на термините се определя от броя страни на базата.

Площта на един триъгълник се изчислява по формулата, в която половината от продукта на основата се умножава по височината. Тази височина в пирамидата се нарича apophema. Обозначението му е "А". Общата формула за площта на страничната повърхност е, както следва:

S = frac12-P * A, където P е периметърът на основата на пирамидата.

Има ситуации, при които страните на базата не са известни, но има странични ръбове (c) и плосък ъгъл в горната част (алфа-). Тогава се предполага да се използва такава формула за изчисляване на страничната площ на пирамидата:

S = n / 2 * инча² грях алфа-.

Задача номер 1

Състояние. Намерете общата площ на пирамидата, ако е в основата й равностранен триъгълник със страна от 4 см, а apophema е важно радикал-3 см.

Решението. Започва с изчисляването на периметъра на базата. Тъй като това е правилният триъгълник, тогава P = 3 * 4 = 12 см. Тъй като apophema е известна, ние можем веднага да се изчисли площта на цялата странична повърхност: frac12- * 12 * radic-3 = 6radic-3 cm².

За триъгълник в дъното получаваме следната стойност на площта: (4²* radic-3) / 4 = 4radic-3 cm².

За да определите общата площ, ще трябва да добавите две резултатни стойности: 6radic-3 + 4radic-3 = 10radic-3 cm².

Отговор. 10 см - 3 см².

Задача номер 2

състояние. Има редовна четириъгълна пирамида. Дължината на страната на основата е 7 мм, страничният ръб е 16 мм. Необходимо е да се знае площта на повърхността му.

Решението. Тъй като полиедърът е четириъгълен и редовен, в основата му има квадрат. След като научихме областта на основата и страничните лица, ще можем да преброим площта на пирамидата. Формулата за квадрата е дадена по-горе. И на страничните лица са известни всички страни на триъгълника. Ето защо можете да използвате формулата на Герон, за да изчислите областите им.

Първите изчисления са прости и водят до такова число: 49 мм². За втората стойност трябва да изчислим полупериметъра: (7 + 16 * 2): 2 = 19.5 mm. Сега можем да изчислим площта на един равен триъгълник: радикал- (19.5 * (19.5-7) * (19.5-16)²) = radic-2985,9375 = 54,644 mm². Има само четири такива триъгълника, така че при изчисляване на крайния брой трябва да го умножите с 4.

Оказва се: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 мм².

отговор. Търсената стойност е 267.576 мм².

Задача номер 3

състояние. Една редовна квадрангула пирамида трябва да изчисли района. Тя знае на страната на площада - 6 см, а височината - 4 см.

Решението. Най-простият начин е да използвате формулата с продукта на периметъра и апофемата. Първата стойност е лесна за намиране. Втората е малко по-сложна.

Необходимо е да си припомним теоремата на Pythagoras и да разгледаме десен триъгълник. Тя се формира от височината на пирамидата и апофемата, която е хипотенузата. Вторият крак е равен на половината от страната на квадрата, тъй като височината на полиедъра пада до средата му.

Желаната апопема (хипотенузата на правоъгълен триъгълник) е радикал- (3² + 4²) = 5 (cm).

Сега можете да изчислите необходимата стойност: frac12 - * (4 * 6) * 5 + 6² = 96 (cm²).

Отговор. 96 сантиметра².

Задача номер 4

Състояние. Представена е редовна шестоъгълна пирамида. Страните на основата са 22 мм, страничните ребра са 61 мм. Каква е площта на страничната повърхност на този многоъгълник?

Решението. Аргументите в него са същите като тези, описани в Проблем 2. Само там имаше пирамида с квадрат в дъното, а сега е шестоъгълник.

Първата стъпка е да се изчисли площта на основата, съгласно горната формула: (6 * 22²) / (4 * tg (180ordm- / 6)) = 726 / (tg30ordm-) = 726radic-3 cm².

Сега е необходимо да се открие половината от периметъра на един триъгълник, който е странично лице. (22 + 61 * 2): 2 = 72 см. Остава според формулата на Херон, за да се изчисли площта на всеки такъв триъгълник, а след това да се умножи по шест и да се добави към тази, която се е оказала за базата.

Изчисления, използващи формула на Heron: радикал- (72 * (72-22) * (72-61)²) = радикал-435600 = 660 см². Изчисления, които дават площ на страничната повърхност: 660 * 6 = 3960 см². Остава да ги добавим, за да разберем цялата повърхност: 5217,47asymp-5217 cm².

Отговор. Основи - 726radic-3 cm², странична повърхност - 3960 см², цялата площ - 5217 см².