Триъгълник равностранен: свойства, знаци, площ, периметър

В училищния курс по геометрия, огромно количество време е посветено на изучаването на триъгълници. Студентите изчисляват ъглите, изграждат бисектриси и височини, разбират как се различават цифрите един от друг и колко лесно е да се намерят тяхната област и периметър. Изглежда, че това не е полезно в живота, но понякога е полезно да се знае например как да се определи, че триъгълникът е равномерен или тъп. Как може да се направи това?

Видове триъгълници

Три точки, които не лежат на един ред, и сегментите, които ги свързват. Изглежда, че тази цифра е най-проста. Какви триъгълници може да има, ако имат само три страни? Всъщност има доста възможности, а някои от тях получават специално внимание в курса на училището по геометрия. Правото триъгълник е равностранен, т.е. всички ъгли и страни са равни. Той има редица забележителни имоти, които ще бъдат разгледани допълнително.

В един равен, само две страни са равни и също е доста интересно. В правоъгълна и тъп триъгълник, тъй като е лесно да се досетите, съответно, един от ъглите е прав или тъп. Те могат да бъдат и равнобедрени.

Има и специална вид триъгълник, наречен египетски. Страничните му страни са равни на 3, 4 и 5 единици. Освен това, тя е правоъгълна. Смята се, че такъв триъгълник е бил активно използван от египетските геодезисти и архитекти за изграждането на правилните ъгли. Има мнение, че с негова помощ са издигнати известните пирамиди.

И все пак всички върхове на триъгълника могат да лежат на една права линия. В този случай то ще се нарече изродено, докато всички останали не се генерират. Те са един от субектите на изследването на геометрията.

Триъгълник равностранен

Разбира се, правилните фигури винаги са най-интересни. Те изглеждат по-съвършени, по-елегантни. Формулите за изчисляване на техните характеристики често са по-прости и по-кратки, отколкото за обикновените фигури. Това важи и за триъгълниците. Не е изненадващо, изучаването на геометрията, те са платили много внимание: децата се научават да се разграничат правилното фигура от друга страна, и да поговорим за някои от техните интересни характеристики.

Знаци и свойства

Тъй като не е трудно да се отгатне от заглавието, всяка страна на равностранен триъгълник е равна на другите две. В допълнение, той има редица функции, чрез които можете да определите дали правилната фигура или не.

• всичките ъгли са равни, тяхната величина е 60 градуса;
• бисекторите, височините и медианите, извлечени от всеки връх, съвпадат;
• редовният триъгълник има 3 ос на симетрия, тя не се променя при завъртане на 120 градуса.
• център на вписан кръг е и център на описаните окръжности и точката на пресичане на медиани, ъглополовящи, височините и средните перпендикуляра.

Ако се наблюдава поне един от горните признаци, тогава триъгълникът е равностранен. За правилната фигура всички горепосочени твърдения са валидни.

Всички триъгълници имат редица забележителни качества. Първо, средната линия, т.е. сегментът, разделящ двете страни на две и успоредно на третата, е равен на половината от основата. На второ място, сумата от всички ъгли на тази фигура е винаги 180 градуса. Освен това има и друга любопитна връзка в триъгълниците. Така че срещу по-голямата страна се крие по-голям ъгъл и обратно. Но това, разбира се, няма отношение към равностранен триъгълник, защото всички ъгли са равни.

Начертани и очертани кръгове

Често в хода на геометрията, учениците също така научават как фигурите могат да взаимодействат помежду си. По-специално, ние изучаваме кръгове, които са вписани в полигони или описани близо до тях. За какво говорим?

Вписано е кръг, за който всички страни на полигона са допирателни. Описано е това, което има точки на контакт с всички ъгли. За всеки триъгълник винаги е възможно да се конструират първите и вторите кръгове, но само един от всеки вид. Доказателствата за тези две теореми се дават в курса на училището по геометрия.

В допълнение към изчисляването на параметрите на самите триъгълници, някои проблеми включват и изчисляването на радиусите на тези кръгове. И формулите, прилагани към
равностранен триъгълник са, както следва:

r = a / radic-a3;

R = a / 2radic-p3;

където r е радиусът на вписаната окръжност, R е радиусът на очертания кръг и а е дължината на страната на триъгълника.

Изчисляване на височината, периметъра и площта

Основните параметри, изчислени от студентите по време на изследването на геометрията, остават непроменени за почти всяка фигура. Това е периметърът, площта и височината. За простота на изчисленията съществуват различни формули.

Така че, периметърът, т.е. дължината на всички страни, се изчислява по следните начини:

P = 3a = 3radic- 3R = 6radic- 3R, където - страна на равностранен триъгълник, R - радиусът на кръга, г - вписан.

височина:

h = (radic- ❍3 / 2) * a, където a е дължината на страната.

Накрая, формулата области на равностранен триъгълник се получава от стандарта, т.е. продуктът на половината от основата до нейната височина.

S = (радикално-3/4) * а², където а е дължината на страната.

Също така, тази стойност може да бъде изчислена чрез параметрите на очертаната или вписана кръг. Съществуват и специални формули за това:

S = 3radic- ä3r² = (3radic - 3/4) * R², където r и R са радиусите на вписаните и очертани кръгове, съответно.

сграда

Друг интересен тип проблем, включително триъгълниците, е свързан с необходимостта да се очертае определена форма, като се използва минималния набор
инструменти: компаси и владетел без разделения.

За да изградите правилния триъгълник само с тези инструменти, трябва да извършите няколко стъпки.

1. Необходимо е да се направи кръг с радиус и центриран в произволна точка А. Трябва да се отбележи.
2. След това трябва да се направи права линия през тази точка.
3. Пресечните точки на кръг и права линия трябва да бъдат обозначени като В и С. Всички конструкции трябва да се извършват с възможно най-голяма точност.
4. След това трябва да изградим друг кръг със същия радиус и център в точка С или дъга със съответните параметри. Точките на пресичане ще бъдат означени като D и F.
5. Точките B, F, D трябва да се свързват по сегменти. Равностранният триъгълник е конструиран.

Решаването на такива проблеми обикновено представлява проблем за учениците, но това умение може да бъде полезно в ежедневието.