Сумата от ъглите на триъгълника. Теоремата за сумата от ъглите на триъгълника

Триъгълник е многоъгълник с три страни (три ъгъла). Най-често страните се означават с малки букви, съответстващи на главни букви, обозначаващи противоположните върхове. В тази статия ще се запознаем с видовете тези геометрични фигури, теоремата, която определя колко е сумата от ъглите на триъгълника.

Видове ъгли

Съществуват следните видове полигони с три върха:

• Ъглова, с всички ъгли рязко;
• правоъгълни, с един прав ъгъл, с тази страна, неговите генератори се наричат ​​катетами, а страната, която е разположена срещу правия ъгъл, се нарича хипотенуза;
• тъп, когато има такъв глупав ъгъл;
• осанка, в която двете страни са еднакви, а те се наричат ​​странично, а третият е основата на триъгълника;
• Равномерна, като всичките три равни страни.

свойства

Разпределете основните свойства, които са характерни за всеки тип триъгълник:

• срещу по-голямата страна винаги има по-голям ъгъл и обратно;
• срещу равните страни са равни ъгли и обратно;
• всеки триъгълник има два остри ъгъла;
• външният ъгъл е по-голям от всеки вътрешен ъгъл, който не е в съседство с него;
• сумата от всеки два ъгъла винаги е по-малка от 180 градуса;
• външният ъгъл е равен на сумата от останалите два ъгъла, които не пречат на него.

Теоремата за сумата от ъглите на триъгълника

Теоремата гласи, че ако добавим всички ъгли на дадена геометрична фигура, която се намира на евклидовата равнина, тогава тяхната сума ще бъде 180 градуса. Нека се опитаме да докажем тази теорема.

Нека имаме произволен триъгълник с върховете на CMN. Чрез върха на М нарисуваме направо паралелно на линията CN (тази права линия се нарича също евклидовата линия). На нея отбелязваме точката А по такъв начин, че точките К и А се намират на противоположните страни на правата линия MN. Ние получаваме същия ъгъл на AMS и MUF, които, подобно на интериора, легнете на кръст за да образуват пресичаща MN във връзка с прякото КН и MA, които са успоредни. От това следва, че сумата от ъглите на триъгълника, разположен във върховете на М и N е равен на размера на ъгъла на СМА. И трите ъгъла са сумата, която е равна на сумата от ъглите на MRA и MKN. Тъй като тези ъгли са вътрешни едностранчиви по отношение на успоредните линии КН и МА със секвенция СМ, тяхната сума е 180 градуса. Теоремата е доказана.

резултат

От горната теорема следваме следното следствие: всеки триъгълник има два остри ъгъла. За да докажем това, нека приемем, че тази геометрична фигура има само един остър ъгъл. Може да се предположи, че никой от ъглите не е остър. В този случай трябва да има поне два ъгъла, чиято стойност е равна или по-голяма от 90 градуса. Но тогава сумата от ъглите ще бъде по-голяма от 180 градуса. И това не може да бъде, защото според теоремата сумата от ъглите на триъгълника е 180 ° - не повече и не по-малко. Това е необходимо, за да се докаже.

Свойството на външните ъгли

Каква е сумата от ъглите на триъгълника, които са външни? Отговорът на този въпрос може да бъде получен чрез прилагане на един от двата метода. Първото е, че е необходимо да се намери сумата от ъглите, които се вземат един на всеки връх, т.е. три ъгъла. Втората предполага, че трябва да намерите сумата от всичките шест ъгъла на върховете. Първо, ще разгледаме първия вариант. Така че триъгълникът съдържа шест външни ъгъла - два във всеки връх. Всяка двойка има еднакви ъгли, защото те са вертикални:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Освен това е известно, че външният ъгъл на триъгълника е равен на сумата от две вътрешни, които не се пресичат с него. Ето защо,

∟1 = ∟A + ∟S, ∟2 = ∟A + ∟V, ∟3 = ∟V + ∟S.

От това се оказва, че сумата от външните ъгли, взети по един на всеки връх, ще бъде равна на:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟А + ∟С + ∟А + ∟В + ∟В + ∟С = 2 х (∟А + ∟В + ∟С).

Като се има предвид, че сумата от ъглите е 180 градуса, можем да твърдим, че ∟A + ∟B + ∟C = 180 °. И това означава, че ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 × 180 ° = 360 °. Ако се приложи втората опция, сумата от шестте ъгъла ще бъде съответно два пъти по-голяма. Тоест сумата от външните ъгли на триъгълника ще бъде:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 х (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.

Правоъгълен триъгълник

Каква е сумата от осите на десния триъгълник, които са остри? Отговорът на този въпрос отново произтича от теоремата, която твърди, че ъглите в триъгълника в сумата са 180 градуса. И нашето твърдение (собственост) звучи така: в правоъгълен триъгълник остри ъгли в сумата дават 90 градуса. Нека докажем неговата истинност. Дайте триъгълник CMN, за който ∟H = 90 °. Необходимо е да докажете, че ∟K + ∟M = 90 °.

Така, според теоремата за сумата на ъглите ∟K + ∟M + ∟H = 180 °. В нашето състояние се казва, че ∟H = 90 °. Така се оказва, ∟K + ∟M + 90 ° = 180 °. Тоест, ∟K + ∟M = 180 ° - 90 ° = 90 °. Това трябва да сме доказали.

В допълнение към гореописаните свойства на триъгълник с прави ъгъл, можете да добавите следното:

• Ъглите, които лежат срещу краката, са остри;
• Хипотенузата е триъгълна повече от която и да е от краката;
• сумата от краката е по-голяма от хипотенузата;
• катетът на триъгълника, който се намира срещу ъгъл от 30 градуса, е половината от размера на хипотенузата, т.е. равна на половината от него.

Като друго свойство на тази геометрична фигура може да се различи питагорейската теорема. Тя твърди, че в триъгълника с ъгъл от 90 градуса (правоъгълен) сумата от квадратите на краката е равна на квадрата на хипотенузата.

Сумата от ъглите на един триъгълник

По-рано казахме, че един изосел е полигон с три върха, съдържащи две еднакви страни. Известна е такава характеристика на дадена геометрична фигура: ъглите по нейната основа са еднакви. Нека докажем това.

Вземете триъгълника CMN, който е равнобедрен, КН е негова основа. От нас се изисква да докажем, че ∟K = ∟H. Така че, да речем, че MA е бисекторът на нашия триъгълник CMN. Триъгълникът MKA с първия знак за равенство е равен на триъгълника MNA. А именно, чрез хипотеза има предвид, че CM = NM, МА е обща страна, ∟1 = ∟2, защото MA - това ъглополовяща. Използвайки факта на равенство на тези два триъгълника, можем да твърдим, че ∟K = ∟H. Следователно теоремата е доказана.

Но ние сме заинтересовани от сумата на ъглите на триъгълник (isosceles). Тъй като в това отношение тя няма свои собствени особености, започваме от теоремата, разгледана по-рано. Това означава, че можем да кажем, че ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, или 2 х ∟K ∟M + = 180 ° (като ∟K = ∟N). Ние няма да докажем това свойство, тъй като теоремата за сумата от ъглите на триъгълника беше доказана по-рано.

В допълнение към свойствата, разглеждани за ъглите на триъгълник, такива важни изявления също съдържат:

• в височина на триъгълника, който е бил пропуснат на основата, е както медиа, така и ъгъл, който е между равните страни, а също и ос на симетрия нейната основа;
• Медиите (bisectrixes, височини), които са привлечени към страните на тази геометрична фигура са равни.

Равен триъгълник

Нарича се и право, това е триъгълник, в който всички страни са равни. И затова ъглите също са равни. Всеки от тях е с 60 градуса. Нека докажем това свойство.

Да предположим, че имаме триъгълник на CMN. Знаем, че KM = HM = KH. Това означава, че, съгласно собственост на ъглите, разположени в основата на равностранен триъгълник ∟K = ∟M = ∟N. Тъй като, съгласно сумата от ъглите на триъгълник теорема ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, след това 3 х = 180 ° ∟K или ∟K = 60 °, ∟M = 60 °, ∟N = 60 °. Така се потвърждава твърдението.Както може да се види от горното доказателство въз основа на теоремата, сумата от ъглите на равностранен триъгълник, като сумата от ъглите на всеки друг триъгълник, е 180 градуса. Не е необходимо тази теорема отново да се доказва.

Има и такива свойства, характерни за равностранен триъгълник:

• средната, bisector, височината в тази геометрична фигура съвпадат и тяхната дължина се изчислява като (a x радикал-3): 2;
• ако опишем кръг около даден полигон, радиусът му ще бъде равен на (a x радикал-3): 3;
• ако ние вписваме кръг в равностранен триъгълник, тогава неговият радиус ще бъде (a x radic-3): 6;
• площта на тази геометрична фигура се изчислява по формулата: (a2 x radic-3): 4.

Тръбовият триъгълник

Съгласно определението тъп триъгълник, един от неговите ъгли е в диапазона от 90 до 180 градуса. Но като се има предвид, че другите два ъгъла на тази геометрична фигура са остри, можем да заключим, че те не надвишават 90 градуса. Следователно, теоремата за сумата от ъглите на триъгълника работи при изчисляване на сумата от ъглите в тъп триъгълник. Оказва се, че можем спокойно да твърдим, разчитайки на горната теорема, че сумата от ъглите на тъпия триъгълник е 180 градуса. Отново тази теорема не се нуждае от второ доказателство.