Правилен многоъгълник. Броят на страните на редовен многоъгълник

Триъгълник, квадрат, шестоъгълник - тези цифри са известни на почти всички. Но не всеки знае кой е обикновен полигон. Но това все пак е същото геометрични форми. Редов многоъгълник е този, който има еднакви ъгли и страни. Има много такива цифри, но всички те имат едни и същи свойства и същите формули се отнасят за тях.

Свойства на редовните полигони

Всеки регулярен многоъгълник, било то квадрат или осмоъгълник, може да бъде вписан в кръг. Това основно свойство често се използва при конструиране на форма. Освен това кръгът може да бъде вписан в многоъгълник. В този случай броят на точките за контакт ще бъде равен на броя на страните. Важно е кръгът, вписан в правилен многоъгълник, да има общ център с него. Тези геометрични фигури са предмет на една теорема. Всяка страна на обикновен n-gon е свързана с радиуса на circumcircle R описан около него. Следователно може да се изчисли, като се използва следната формула: a = 2R ∙ sin180 °. Чрез радиус на кръг можете да намерите не само страните, но и периметъра на полигона.

Как да намерите броя на страните на редовен многоъгълник

който и да е обикновен n-gon се състои от определен брой равни сегменти, които, когато се комбинират, образуват затворена линия. В този случай всички ъгли на образуваната фигура имат еднаква стойност. Полигоните са разделени на прости и сложни. Първата група включва триъгълник и квадрат. Комплексните полигони имат повече страни. Те също така включват стелетни фигури. За сложни регулярни полигони, страните се намират чрез поставянето им в кръг. Ние даваме доказателство. Начертайте редовен многоъгълник с произволен брой страни на n. Опишете кръг около него. Посочете радиуса R. Сега си представете, че е даден n-gon. Ако точките на нейните ъгли са разположени на кръг и са равни една на друга, тогава страните могат да бъдат намерени по формулата: a = 2R ∙ sinalpha-: 2.

Намиране на броя на страните на вписания десен триъгълник

Равностранен триъгълник е редовен многоъгълник. Формулите към него се прилагат същите като на квадрата и n-gon. Триъгълникът ще се счита за правилен, ако има еднаква дължина отстрани. Ъгълът е равен на 60 При. Изграждаме триъгълник с определена дължина на страните a. Познавайки средната и височината му, може да се намери значението на неговите страни. За да направим това, ще използваме метода за намиране чрез формулата a = x: cosalpha-, където x е средната или височината. Тъй като всички страни на триъгълника са равни, получаваме a = b = c. Тогава следващото твърдение е вярно: a = b = c = x: cosalpha-. По същия начин може да се намери стойността на страните в равнобедрен триъгълник, но х е определената височина. В този случай тя трябва да се проектира стриктно на основата на фигурата. Така че, знаейки височината x, намираме страната a на осанков триъгълник по формулата a = b = x: cosalpha-. След като намерим стойността на a, можем да изчислим дължината на основата c. Прилагаме теоремата на Pythagoras. Ще търсим стойността на половината от базата c: 2 = radic- (x: cosalpha -) ^ 2 - (x ^ 2) = radic-x ^ 2 (1-cos ^ 2alpha-): cos ^ 2alpha- = x · tgalpha-. Тогава c = 2xtgalpha-. По този прост начин може да се намери броят страни на всеки вписан многоъгълник.

Изчисляване на страните на квадрат, вписан в кръг

Подобно на всеки вписан редовен многоъгълник, квадратът има еднакви страни и ъгли. Същите формули се отнасят и за триъгълника. Изчислете страните на квадрата може да бъде чрез стойността на диагонала. Да разгледаме този метод по-подробно. Известно е, че диагоналът разделя ъгъла наполовина. Първоначално стойността му е била 90 градуса. Така, след разделянето, две десен триъгълник. Техните ъгли в основата ще бъдат равни на 45 градуса. Съответно, всяка страна на квадрата е равна, че е: А = В = С = г = д ∙ cosalpha- = eradic-2 2, където е - е диагонала на квадрат или основа, образувана след разделяне на правоъгълен триъгълник. Това не е единственият начин да намерите страни на квадрат. Ще напишем тази цифра в кръг. Познавайки радиуса на този кръг R, намираме страната на площада. Ще го изчислим както следва: a4 = Rradic-2. Радиусите на редовните полигони се изчисляват от формулата R = a: 2tg (360^о: 2n), където a е дължината на страната.

Как да изчислим периметъра на n-gon

Периметърът на n-gon е сумата от всичките му страни. Не е трудно да се изчисли. За да направите това, трябва да знаете значението на всички страни. За някои видове полигони има специални формули. Те ви позволяват да намерите периметъра много по-бързо. Известно е, че всеки регулярен многоъгълник има равни страни. Следователно, за да се изчисли нейният периметър, достатъчно е да се знае поне един от тях. Формулата ще зависи от броя страни на фигурата. По принцип изглежда така: P = an, където a е страничната стойност и n е броят на ъглите. Например, за да се намери периметъра на правилен осмоъгълник със страна 3 см, което трябва да го умножете по 8, тоест, P = 3 ∙ 8 = 24 см За шестоъгълник със страна 5 cm, се изчислява, както следва :. P = 5 ∙ 6 = 30 см и така за. от всеки многоъгълник.

Намиране на периметъра на паралелограма, квадрат и диамант

В зависимост от това колко страни има редовен полигон, изчислете неговия периметър. Това прави задачата много по-лесна. В крайна сметка, за разлика от други фигури, в този случай не е нужно да търсите всички страни, само една. По същия принцип намираме периметъра на квадратъгълниците, т.е. квадрат и ромб. Въпреки факта, че това са различни цифри, формулата за тях е P = 4a, където а е страната. Нека да дадем пример. Ако страната на ромбъса или квадрата е 6 см, тогава намираме периметъра по следния начин: P = 4 ∙ 6 = 24 см. В паралелограма, само срещуположните страни са еднакви. Поради това неговият периметър се намира с помощта на различен метод. Така че, трябва да знаем дължината на а и ширината на формата. След това прилагаме формулата P = (a + b) ∙ 2. Едно паралелограма, при което всички страни и ъгли са равни, се нарича ромб.

Намиране на периметъра на равностранен триъгълник и десен триъгълник

Периметър на правилно равностранен триъгълник може да се намери от формулата P = 3a, където a е дължината на страната. Ако не е известно, може да се намери чрез медианата. В десния триъгълник само две страни имат еднаква стойност. Основата може да се намери чрез питагорейската теорема. След като стойностите на трите страни станат известни, изчислете периметъра. Тя може да бъде намерена чрез прилагане на формулата P = a + b + c, където a и b са равни страни, а c е основата. Спомнете си, че в един триъгълник isosceles a = b = a, след това a + b = 2a, след това P = 2a + c. Например, страната на равнобедрен триъгълник е 4 см, намираме основата и периметъра. Ние изчисляваме стойността на хипотенузата от питагорейската теорема c = Радич-а² + в² = radic-16 + 16 = radic-32 = 5.65 см. Сега нека изчислим периметъра P = 2 ∙ 4 + 5.65 = 13.65 см.

Как да намерите ъглите на редовен многоъгълник

Редов полигон се случва всеки ден в нашия живот, например обикновен квадрат, триъгълник, осмоъгълник. Изглежда, че нищо не е по-лесно от изграждането на тази цифра сами. Но това е само на пръв поглед. За да се конструира всеки n-gon, е необходимо да се знае стойността на неговите ъгли. Но как да ги намерите? Дори древните учени се опитаха да изградят редовни полигони. Предполагаха, че ще се поберат в кръг. След това забеляза необходимите точки, свързани с прави линии. За прости цифри строителният проблем беше решен. Бяха получени формули и теореми. Например, Евклид в известната си работа "Начало" за решаване на проблемите, свързани с 3-, 4-, 5-, 6- и 15-gons. Намери начини да конструира и да намери ъгли. Помислете как да направите това за 15-гон. Първо трябва да изчислите сумата от вътрешните ъгли. Необходимо е да се използва формулата S = 180⁰ (n-2). Така, ние са дадени на 15-гон, следователно, броят п е 15. Заместването на известните данни и получаване на формула S = 180⁰ (15 - 2) = 180⁰ х 13 = 2340⁰. Намерихме сумата от всички вътрешни ъгли на 15-те. Сега трябва да получите стойността на всеки един от тях. Общ ъгъл 15. Изчислете 2340⁰: 15 = 156⁰. Следователно, всеки вътрешен ъгъл е 156⁰, сега с линийка и компас може да изгради правилната 15-гон. Но какво ще кажете за по-сложните n-gons? В продължение на много векове учени се борят да решат този проблем. Намира се само през 18-ти век от Карл Фридрих Гаус. Той успя да построи 65537-гон. Оттогава проблемът официално се счита за напълно решен.

Изчисляване на ъглите на n-gons в радиани

Разбира се, има няколко начина да се намерят ъглите на полигоните. Най-често те се изчисляват в градуси. Но можете да ги изразите в радиани. Как да направите това? Необходимо е да продължите както следва. Първо, ние намерите и броя на страните на правилен многоъгълник, а след това се изважда от него 2. Следователно, ние получаваме стойността: п - 2. Умножение на установената разлика на броя н ( "пи" = 3,14). Сега остава само да се раздели получения продукт с броя на ъглите в n-gon. Помислете за тези изчисления, като използвате същия пример за петнайсет ъгъла. По този начин, броят п е равно на 15. прилага формула S = N (п - 2): п = 3,14 (15 - 2): 15 = 3,14 ∙ 13: 15 = 2,72. Това, разбира се, не е единственият начин за изчисляване на ъгъла в радианите. Можете просто да разделите размера на ъгъла в градуси с числото 57.3. В крайна сметка толкова много степени са еквивалентни на един радиат.

Изчисляване на ъглите в гради

В допълнение към степените и радианите, можете да опитате да намерите ъглите на редовен многоъгълник в градушка. Това се прави по следния начин. От общия брой на ъглите, извадете 2, разделете получената разлика на броя на страните на редовния многоъгълник. Резултатът се умножава по 200. Между другото, такава единица за измерване на ъгли, като градушка, практически не се използва.

Изчисляване на външни ъгли на n-gons

За всеки регулярен многоъгълник, с изключение на вътрешния многоъгълник, може да се изчисли и външния ъгъл. Стойността му се намира по същия начин, както при другите фигури. Така че, за да откриете външния ъгъл на обикновен полигон, трябва да знаете значението на вътрешния полигон. Освен това знаем, че сумата от тези два ъгъла е винаги 180 градуса. Следователно правим изчисленията, както следва: 180⁰ минус стойността на вътрешния ъгъл. Откриваме разликата. То ще бъде равно на стойността на ъгъла, съседен на него. Например, вътрешният ъгъл на квадрата е 90 градуса, след това външният ъгъл ще бъде 180⁰-90⁰ = 90⁰. Както виждаме, не е трудно да го открием. Външният ъгъл може да вземе стойност от + 180⁰ до, съответно, -180⁰.