muzruno.com

Четириъгълник с прави ъгли е ... Сумата от ъглите на четириъгълника

Една от най-интересните теми за геометрията от училищния курс е "Quadrangles" (осми клас). Какви видове такива цифри съществуват, какви специални имоти имат? Каква е уникалността на квадратниците с ъгъл от 90 градуса? Нека разгледаме всичко това.

Каква геометрична фигура се нарича квадрангъл

Полигони, които се състоят от четири страни и съответно от четири върха (ъгли), се наричат ​​квадрилатерали в евклидовата геометрия.

Историята на името на този вид фигури е интересна. На руски език, съществителното "квадратъгълник" се формира от фразата "четири ъгъла" (по същия начин като "триъгълник" - три ъгъла, "петоъгълник" - пет ъгъла и т.н.).

Въпреки това, в латински (чрез чието посредничество много геометрични термини са дошли на повечето от езиците на света) той се нарича четиристранно. Тази дума се формира от числото quadri (четири) и съществителното latus (страна). Така че можем да заключим, че в древността този полигон е бил наречен просто "четириъгълник".

Между другото, това име (с акцент върху присъствието на четири страни, а не ъгли) на тази фигура е запазено на някои съвременни езици. Например, на английски - четиристранни и на френски - quadrilatère.

В повечето славянски езици този вид е идентифициран цифри все още за броя на ъглите, а не отстрани. Така например, в словашката (scaron-tvoruholník), на български ( "chetiriglnik") в Беларус ( "chatyrohkutnіk") в украински ( "chotirikutnik"), в Чехия (čtyřúhelník), но в полския четириъгълник призова броят на страните - czworoboczny ,

Какви видове квадратчета се изучават в учебната програма

В съвременната геометрия се отличават четири типа полигони с четири страни. квадрангол свойства Въпреки това, поради твърде сложните свойства на някои от тях, само два вида се преподават в учебните часове на учениците.

  • Паралелограма (паралелограма). Обратните страни на четириъгълника са двойно успоредни една спрямо друга и следователно също са двойки.
  • Трапез (трапец или трапец). Този квадратъгълник се състои от две противоположни страни, успоредни една на друга. Другата двойка страни обаче няма такава функция.

Типовете квадратниъгълници, които не се изучават в курса на геометрията

В допълнение към гореизложеното има още два вида квадратчета, които учениците не познават в класовете по геометрия, поради тяхната особена сложност.

  • Делтоид (кайт) - фигура, в която всяка от двете двойки съседни страни е еднаква по дължина един към друг. Името на този квадрангъл се дължи на факта, че на външен вид е доста подобен на буквата на гръцката азбука - "делта".
  • Антипариолеграма (антипарелограма) - тази цифра е също толкова сложна, колкото и нейното име. В него две противоположни страни са еднакви, но не са паралелни един на друг. В допълнение, дългата противоположна страна на това четиристранно припокриване, както и разширенията на другите две къси страни.

Видове паралелограма

След като разгледахме основните типове квадратчета, струва си да обърнем внимание на своя подвид. По този начин всички паралелограми от своя страна също са разделени на четири групи. геометрията на квадрилатералите

  • Класически паралелограм.
  • Ромбос (ромб) - четворна фигура със равни страни. Неговите диагонали се пресичат под прав ъгъл, разделяйки диаманта на четири равни правоъгълни триъгълника.
  • Правоъгълник (правоъгълник). Името говори само за себе си. Тъй като това е четириъгълник с прави ъгли (всеки от тях е равен на деветдесет градуса). Отсрещните му страни са не само паралелни един на друг, но и равни.
  • Квадрат (квадрат). Подобно на правоъгълник, той е четириъгълник с прави ъгли, но всички страни са равни една на друга. Тази цифра е близо до ромбоса. Така че може да се твърди, че квадрат е кръст между диамант и правоъгълник.

Специални свойства на правоъгълника

Като се има предвид цифрите, в които всеки от ъглите между страните е равен на 90 градуса, струва си да погледнем по-отблизо правоъгълника. И така, какви са особеностите му, които го отличават от другите паралелограми? изграждане на четириъгълник

За да се твърди, че въпросният паралелограм е правоъгълник, неговите диагонали трябва да бъдат равни една на друга и всеки от ъглите е прав. Освен това квадратът на диагоналите трябва да съответства на сумата от квадратите на две съседни страни на тази фигура. С други думи, класическият правоъгълник се състои от два правоъгълни триъгълника, а в тях, както е известно, сумата от квадратите на краката е равна на квадрата на хипотенузата. В ролята на хипотенузата се появява диагоналът на разглеждания четириъгълник.

Последната от изброените характеристики на тази цифра е и нейната специална собственост. Освен това има и други. Например, фактът, че всички страни на четириъгълника, изучавани под прав ъгъл, са едновременно височини.

Освен това, ако начертаете кръг около всеки правоъгълник, неговият диаметър ще бъде равен на диагонала на вписаната фигура.

Сред другите свойства на този четириъгълник, фактът, че той е плосък и в не-евклидова геометрия, не съществува. Това се дължи на факта, че в тази система няма четириъгълни фигури, чиято сума от ъглите е равна на триста и шестдесет градуса.

Площад и неговите черти



След като разгледахме характеристиките и свойствата на правоъгълника, струва си да обърнем внимание на втория известен квадратъгълник с прави ъгли (това е квадрат). квадратъгълник с прави ъгли е

Като всъщност е един и същ правоъгълник, но с еднакви страни, тази цифра има всичките си свойства. Но за разлика от него, квадратът се намира в не-евклидова геометрия.

В допълнение, тази цифра, има и други собствени отличителни черти. Например, фактът, че диагоналите на квадрат не са просто равни една на друга, но също се пресичат под прав ъгъл. Така, като диамант, квадратът се състои от четири правоъгълни триъгълника, в които той е разделен на диагонали.

В допълнение, тази цифра е най-симетричната сред всички квадрилатерали.

Каква е сумата от ъглите на четириъгълника

Имайки предвид особеностите на квадрилатералите на евклидовата геометрия, си струва да обърнем внимание на техните ъгли. сумата от ъглите на четириъгълника е

И така, във всяка от горепосочените цифри, независимо дали има прави ъгли или не, общата им сума е винаги една и съща - триста и шестдесет градуса. Това е уникална особеност на този вид фигури.

Периметър на квадрилатералите

След като разгледахме каква е сумата от ъглите на четиристранни и други специални свойства на фигури от този вид, струва си да разберете кои формули най-добре се използват за изчисляване на периметъра и площта им. квадратни формули

За да определите периметъра на всеки четириъгълник, трябва само да добавите дължината на всички страни.

Например, във фигурата KLMN нейният периметър може да бъде изчислен по формулата: P = KL + LM + MN + KN. Ако заменим числата тук, ще получим: 6 + 8 + 6 + 8 = 28 (cm).

В случая, когато разглеждания фигурата - квадратна или ромб, за намиране на периметъра на формулата може да бъде опростена, като просто умножаване на дължината на една от неговите страни от четири P х = KL пример 4. 6 х 4 = 24 (см).

Квадратни квадратни формули

След като разгледахме как да намерим периметъра на всяка фигура с четири ъгъла и страни, е полезно да разгледаме най-популярните и прости начини за намиране на нейната област. квадратъгълници клас 8

  • Класическият начин за изчисляването му е да използваме формулата S = 1/2 KM x LN x SIN LON. Оказва се, че площта на всеки четириъгълник е равна на половината от продукта на нейните диагонали чрез синуса на ъгъла, разположен между тях.
  • Ако цифрата, чиято площ трябва да се намери - това е правоъгълник или квадрат (диагонал на които винаги е равен на друг), можем да опрости формула, издигната в квадрата на дължината на един диагонал и се умножи по синуса на ъгъла между тях и се раздели на две всички. Например: S = 1/2 KM 2 x SIN LON.
  • Също така, когато намирате областта на правоъгълник, може да ви помогне информацията за периметъра на въпросната фигура и дължината на едната страна. В този случай ще бъде най-удобно да се използва формулата S = KN x (P - 2 KN) / 2. противоположните страни на четириъгълника
  • В случай на квадрат, неговите свойства ни позволяват да използваме няколко допълнителни формули за намиране на района. Например, знаейки периметъра на фигура, можете да използвате тази опция: S = P 2/ 16. И ако е известен радиусът на кръг, вписан в четириъгълник, квадрата на квадрата е по много сходен начин: S = 4r2. Ако е известен радиусът на окръжния кръг, тогава е подходяща друга формула: S = 2R2. също Квадрат на квадрат е равен на 0,8 от дължината на линията, изтеглена от ъгъла на фигурата до средата на противоположната страна.
  • В допълнение към всичко казано по-горе, има и отделна формула за намиране на площта, изчислена специално за паралелограма. Може да се използва, ако е известно, дължината на две височини на фигурата и големината на ъгъла между тях. Тогава височините трябва да се умножават между тях и синусите на ъгъла между тях. Заслужава да се отбележи, че можете да използвате тази формула за всички фигури, които се отнасят до паралелограми (т.е. до правоъгълник, ромб и квадрат).

Други свойства на квадрилатералите: вписани и очертани кръгове

След като разгледахме характеристиките и свойствата на четириъгълника като фигури на евклидовата геометрия, струва си да обърнем внимание на възможността да опишем или да затворим кръгове в него:

  • Ако сумите на противоположните ъгли на фигурата са сто и осемдесет градуса и са равномерни по една спрямо друга, тогава около такъв квадратъгълник може свободно да се опише кръг.
  • Според теоремата на Птолемей, ако кръгът е описан извън полигона с четири страни, тогава продуктът от неговите диагонали е равен на сумата от продуктите на противоположните страни на дадената фигура. Така формулата ще изглежда така: KM x LN = KL x MN + LM x KN.
  • Ако изградим четириъгълник, в който сумите на противоположните страни са равни една на друга, тогава може да се впише кръг.

Тъй като се занимаваме с това, което е четириъгълник, какви видове съществуват, кои от тях имат само директни ъгли между страните и какви свойства притежават, си струва да си припомним целия този материал. По-специално формулите за намиране на периметъра и площта на изследваните полигони. В крайна сметка, фигури от тази форма - едно от най-често срещаните, и това знание може да бъде полезно за изчисления в реалния живот.

Споделяне в социалните мрежи:

сроден