Диагона на равностранен трапец. Каква е средната линия на трапеца. Видове трапец. Трапезата е ..

Трапецът е специален случай на четириъгълник, в който една двойка страни е успоредна. Терминът "трапец" идва от гръцката дума тау-ро-апи-епсилон-зета-алфа-, което означава "таблица", "таблица". В тази статия ще разгледаме типовете трапезии и техните свойства. Освен това ще разберем как да изчисляваме отделните елементи от това геометрична фигура. Например, диагоналът на равностранен трапец, средната линия, площта и т.н. Материалът е описан в стил елементарна популярна геометрия, т.е. в лесно достъпна форма.

Обща информация

Първо, нека видим какво е четиристранно. Тази цифра е специален случай на многоъгълник, съдържащ четири страни и четири върха. Два върха на квадрангъл, които не са съседни, се наричат ​​противоположни върхове. Същото може да се каже и за двете несъседни страни. Основните типове квадрилатерали са паралелограма, правоъгълник, ромб, квадрат, трапец и делоид.

Така че, обратно към трапеца. Както вече казахме, тази цифра има две страни, които са паралелни. Те се наричат ​​бази. Другите два (не-паралелни) са страните. В материалите на изпитите и в различни контролни документи често е възможно да се изпълнят задачите, свързани с трапецовиците, чието решение често изисква от ученика да има знания, които не са предоставени от програмата. Учебният курс по геометрия запознава студентите със свойствата на ъглите и диагоналите, както и със средната линия на равновесен трапец. Но в края на краищата, посочената геометрична фигура има и други характеристики. Но за тях по-късно ...

Видове трапец

Има много видове тази цифра. Обаче, два от тях обикновено се считат за равнобедрени и правоъгълни.

1. Правоъгълен трапец е фигура, в която една от страните е перпендикулярна на основите. Той има два ъгъла, винаги равни на 90 градуса.

2. Трапецът с равнобедрен размер е геометрична фигура, в която страните са еднакви. Така ъглите в основите също са равни по двойки.

Основните принципи на техниката на изучаване на трапецовите свойства

Основният принцип е използването на т. Нар. Проблемен подход. Всъщност няма нужда да се въвеждат нови свойства на тази фигура в курса на теоретичната геометрия. Те могат да бъдат отворени и формулирани в процеса на решаване на различни проблеми (по-добри). В същото време е много важно учителят да знае какви задачи трябва да бъдат поставени пред учениците в един или друг момент от образователния процес. Освен това, всяка собственост на трапец може да бъде представена като ключова задача в системата от задачи.

Вторият принцип е така наречената спирална организация на изучаването на "забележителните" трапецови качества. Това означава връщане в процеса на учене на индивидуалните характеристики на дадена геометрична фигура. По този начин студентите са по-лесни за запомняне. Например, собственост на четири точки. Тя може да бъде доказана както в изследването на приликата, така и по-късно с помощта на вектори. Равна триъгълници съседни страни на фигурата, е възможно да се докаже, като се използва не само свойствата на триъгълника с еднакви височини проведени по стените на които лежат на една права линия, но също така и с помощта на формула S = 1/2 (АВ * sinalpha-). Освен това е възможно да се изработи sine теорема върху вписания трапец или десен триъгълник върху описания трапец и т.н.

Прилагането на "извънпрограмата" на геометричната фигура в съдържанието на училищния курс е технология, ориентирана към задачата за тяхното преподаване. Постоянното обжалване на изследваните имоти по време на преминаването на други теми позволява на студентите да разберат по-добре трапецовидното пространство и да осигурят успеха при решаването на задачите. Така че, нека започнем да изучаваме тази забележителна фигура.

Елементи и свойства на равновесен трапец

Както вече отбелязахме, в тази геометрична фигура страните са еднакви. Тя също е известна като дясната трапец. И защо е толкова забележително и защо получи такова име? Особеностите на тази фигура са, че не само страните и ъглите на основите са равни, но и диагоналите. В допълнение, сумата от ъглите на равнобедрен трапец е 360 градуса. Но това не е всичко! От всички известни трапецовиди, само около един осезален може да се опише кръг. Това се дължи на факта, че сумата от противоположните ъгли на тази фигура е 180 градуса, но само при такива условия е възможно да се опише кръг около четириъгълник. Следващото свойство на въпросната геометрична фигура е, че разстоянието от горната част на основата до проекцията на противоположния връх към линията, съдържаща тази база, ще бъде равно на средната линия.

И сега нека разберем как да намерим ъглите на един хладен трапец. Помислете за решаването на този проблем, при условие че са известни размерите на страните на фигурата.

Решението

Обикновено четириъгълник обикновено се обозначава с букви A, B, C, D, където BS и AD са основите. В равновесния трапец, страните са еднакви. Ние ще приемем, че техният размер е равен на X, а размерите на основите са равни на Y и Z (по-малки и по-големи, съответно). За да извършим изчислението, е необходимо да изведем височината Н от ъгъла B. В резултат на това имаме правилен триъгълник ABN, където AB е хипотенузата, а BN и AN са краката. Изчислява размера на крака: изважда от по-голямата основа минимална, и резултатът се разделя 2. напиши формула: (Z-Y) / 2 = F. Сега, за да се изчисли остър ъгъл на функционални COS за използване на триъгълник. Получаваме следния запис: cos (beta-) = X / F. Сега изчислете ъгъла: бета- = аркос (X / F). Освен това, знаейки един ъгъл, можем да дефинираме втория, затова ние произвеждаме елементарно аритметично действие: 180 - бета. Всички ъгли са определени.

Има и второ решение на този проблем. В началото намаляваме височината Н от ъгъла Б. Изчисляваме стойността на BN катода. Знаем, че квадратът на хипотенузата на десния триъгълник е равен на сумата от квадратите на краката. Получаваме: BN = радикал- (X2-F2). След това използваме тригонометричната функция tg. В резултат на това имаме: бета- = arctg (BN / F). Острите ъгли се откриват. След това определяме тъп ъгъл, подобен на първия метод.

Свойството на диагоналите на равнобедрен трапец

Първо, написваме четири правила. Ако диагоналите в равнобедрен трапец са перпендикулярни, тогава:

- Височината на фигурата ще бъде равна на сумата от базите, разделена на две;

- височината и средната му линия са еднакви;

- трапецова зона ще бъде равен на квадрата на височината (средната линия, половината сума от основите);

- квадратът на диагонала е равен на половината квадрат на сумата от основите или на двойния квадрат на средната линия (височина).

Сега помислете за формулите, които определят диагонала на равностранен трапец. Този информационен блок може да бъде разделен на четири части:

1. Формулата за дължината на диагонала в нейните страни.

Да приемем, че А е долната база, В е върха, С е равни страни и D е диагоналната. В този случай дължината може да бъде определена, както следва:

D = радикал- (С2 + А * В).

2. Формула за дължината на диагонала чрез косинусовата теорема.

Да приемем, че А е долната база, В е върха, С е равни страни, D е диагоналната, алфа- (в долната база) и бета- (близо до горната база) - ъглите на трапеца. Получаваме следните формули, с помощта на които можем да изчислим дължината на диагонала:

- D = радикал- (А2 + С2-2А * С * косалфа-);

- D = radic- (A2 + C2-2A * C * cosbeta-);

- D = радикал- (В2 + С2-2В * С * косбета-);

- D = радикал- (В2 + С2-2В * С * косалфа-).

3. Формула за дължината на диагоналите на равнобедрен трапец.

Да приемем, че А е долната база, В е върха, D е диагоналната, М е средната линия, Н е височината, Р е трапецовият участък, алфа- и бета - са ъглите между диагоналите. Определете дължината на следните формули:

- D = радикал- (М2 + Н2);

- D = радикал- (Н2 + (А + В) 2/4);

- D = радикал- (Н (А + В) / sinalpha-) = радикал- (2P / sinalpha-) = радикал- (2М * Н / sinalpha-).

За този случай, равенството sinalpha- = sinbeta-.

4. Диаграма дължина формули през страни и височина.

Да приемем, че А е долната база, В е върха, C е страната, D е диагоналната, H е височината, алфа- е ъгълът в долната основа.

Определете дължината на следните формули:

- D = радикал- (Н2 + (А-Р * ctgalpha-) 2);

- D = радикал- (Н2 + (В + Р * ctgalpha-) 2);

- D = радикал- (А2 + С2-2А * радикал- (С2-Н2)).

Елементи и свойства на правоъгълен трапец

Нека да разгледаме какво е интересно за тази геометрична фигура. Както вече казахме, правоъгълен трапец има два прави ъгъла.

В допълнение към класическата дефиниция има и други. Например, правоъгълен трапец е трапец, в който едната страна е перпендикулярна на основите. Или фигура с прави ъгли отстрани. При този тип трапец, височината е равна на страничната страна, която е перпендикулярна на основите. Средната линия е сегментът, който свързва средата на двете страни. Свойството на споменатия елемент е, че то е успоредно на основите и е равно на половината от сумата.

Сега нека разгледаме основните формули, които определят тази геометрична фигура. За тази цел предполагаме, че А и В са бази-С (перпендикулярни на основите) и D-страни на правоъгълния трапец, М е средната линия, алфа- е остър ъгъл и П е площта.

1. Страницата, перпендикулярна на основите, е равна на височината на фигурата (C = H) и е равна на произведението от дължината на втората страна D и синусоида на ъгъла алфа - за по-голяма база (C = D * sinalpha-). В допълнение, той е равен на продукта на допирателната към остър ъгъл алфа- и базова разлика: С = (А-В) * tgalpha-.

2. страна D (не е перпендикулярна на основата), равен на отношението на разликата на А и В и косинус (алфа) ъгъл форма малък или частна височина Н и задължително малък ъгъл: А = (А-В) / COS алфа- = С / sinalpha-.

3. Страницата, която е перпендикулярна на основите, е равна на квадратен корен на разликата между квадрата на D - втората страна и квадрата на разликата в основите:

С = радикал- (А2- (АВ) 2).

4. Страницата D на правоъгълен трапец е равна на квадратния корен на сумата от квадрата на страната С и квадрата на разликата в основите на геометричната фигура: A = радикал- (С2 + (АВ) 2).

5. Страницата С е равна на коефициента на разделяне на двойната площ от сумата от нейните основи: C = П / М = 2П / (А + Б).

6. Районът се определя от продукта М (средната линия на правоъгълния трапец) до височината или страната, перпендикулярно на основите: П = М * Н = М * С.

7. Позиция С е частното от два пъти квадратна форма от продукта задължително малък ъгъл и сумата от неговите основи: С = P / M * sinalpha- = 2P / ((А + В) * sinalpha-).

8. Формулите на страничната страна на правоъгълния трапец през неговите диагонали и ъгъла между тях:

- sinalpha- = sinbeta-;

- С = (D1 * D2 / (A + B)) * sinalpha- = (D1 * D2 / (A + B)

където D1 и D2 са диагоналите на трапецо- алфа- и бета - ъглите между тях.

9. Формули на страничната страна през ъгъла в долната основа и други страни: D = (A-B) / cosalpha- = C / sinalpha- = H / sinalpha-.

Тъй като трапецът с прав ъгъл е особен случай на трапец, останалите формули, които определят тези фигури, също ще съответстват на правоъгълна.

Вписани свойства на кръга

Ако условието гласи, че кръг е вписан в правоъгълен трапец, тогава могат да се използват следните свойства:

- сумата от базите е равна на сумата от страничните страни;

- Разстоянието от върха на правоъгълна фигура до точката на допир на вписания кръг е винаги равно;

- Височината на трапеца е равна на страничната страна, перпендикулярна на основите и е равна на диаметър на кръг;

- Центърът на кръга е точката, в която bisectors на ъгли;

- ако страничната страна е разделена от точката на допир до сегментите Н и М, тогава радиус на кръг е равна на квадратен корен на продукта от тези сегменти;

- квадратъгълник, образуван от точките на допир, връхът на трапеца и центъра на вписания кръг е квадрат, чиято страна е равна на радиуса;

- площта на фигурата е равна на произведението на основите и произведението от половината сума от основите по височина.

Подобни трапези

Тази тема е много удобна за изучаване на свойствата на това геометрична фигура. Например, диагоналите разделят трапеца в четири триъгълника, прилежащи към основите са подобни, а отстрани - равни. Това твърдение може да се нарече собственост на триъгълници, на които трапецът е разделен от неговите диагонали. Първата част на това изявление се доказва чрез критерия за сходство в два ъгъла. За да докажете втората част, е по-добре да използвате метода, даден по-долу.

Доказателство за теоремата

Предполагаме, че моделът ABSD (AD и BS - основата на трапеца) се нарушава от диагоналите на VD и AC. Точката на тяхното пресичане е О. Получаваме четири триъгълника: AOS - на долната база, BOS - в горната база, ABO и SOD в страничните страни. Триъгълниците на SOD и BFD имат обща височина в случая, когато сегментите B и D са техните основи. Получаваме, че разликата в техните участъци (II) е равна на разликата между тези сегменти: NFS / LFD = B0 / OD = K. Следователно, LDPE = NSP / K По подобен начин триъгълниците BF и AOB имат обща височина. Ние вземаме CO и OA сегментите за техните бази. Получаваме PBO / PAOB = CO / OA = K и PAOB = PBO / K. От това следва, че PSCM = PAOB.

За да се фиксира материалът, студентите се насърчават да намерят връзка между областите на получените триъгълници, към които трапецът е разделен от диагоналите, като решава следния проблем. Известно е, че в триъгълниците на BF и ADN участъците са равни, е необходимо да се намери площта на трапецума. Тъй като LDPE = PAOB, това означава, че PABSD = PBO + PAOJD + 2 * LOAD. От сходството на триъгълниците на BOS и ANOD следва, че B0 / D3 = radic- (PBO / PAOD). Следователно, BSP / DPPM = BO / OD = radic- (PBO / PAOD). Получаваме PSOD = радикал- (PBO * PAOD). След това, PABSD = PBO + PAOAD + 2 * radic- (PAO * PAOD) = (radic-PBO + radic-PAOE) 2.

Сходни свойства

Продължавайки да развиваме тази тема, е възможно да се докажат други интересни трапецовидни характеристики. Така с помощта на приликата е възможно да се докаже собствеността на сегмент, който преминава през точка, образувана от пресечната точка на диагоналите на тази геометрична фигура, успоредна на основите. За тази цел решаваме следния проблем: необходимо е да се намери дължината на сегмента РК, която преминава през точката О. От подобието на триъгълниците ADD и BF следва, че AO / OC = AD / BS. От подобието на триъгълниците AOP и ASB следва, че AO / AC = PO / BS = AD / (BS + AD). От това получаваме PO = BC * AD / (BS + AD). По подобен начин, от сходството на триъгълниците MLC и DBS следва, че OK = BS * AD / (BS + AD). От това следва, че PO = OK и PK = 2 * BS * AD / (BS + AD). Сегментът, преминаващ през точката на пресичане на диагоналите, успоредно на основите и свързващ двете странични страни, се разделя на точка на пресичане наполовина. Неговата дължина е средната хармонична база на фигурата.

Помислете за следното трапецовидно качество, което се нарича собственост на четири точки. точката на пресичане на диагоналите (D), точката на пресичане на продължението на страните (Е), както и средата на бази (Т и G) винаги лежат на една и съща линия. Това лесно се доказва от метода на приликата. Получените триъгълници са сходни BES и AED и всеки включително средна ЕТ и DLY разделят ъгълът Е в равни части. Следователно точките Е, Т и М лежат на един ред. По същия начин, на същата линия са разположени по отношение на Т, О и G. Това следва от сходството на триъгълници BOS и ANM. Следователно заключаваме, че всичките четири точки - E, T, O и F - ще лежат на една права линия.

При използването на подобни трапецовидни е възможно да се предложат учениците да намерят дължината на сегмента (LF), която разбива фигурата в две подобни. Този сегмент трябва да бъде успореден на базите. Тъй като получените трапезоиди на ALFD и LBSF са подобни, тогава BS / LF = LF / AD. Следователно следва, че ЛΦ = radic- (BS * AD). Получаваме, че сегментът, разделящ трапеца в две подобни, има дължина, равна на средната геометрична дължина на основите на фигурата.

Помислете за следното свойство на сходство. В основата му се крие сегмент, който разделя трапеца на две равни цифри. Предполагаме, че трапецът на ABSD е разделен от сегмент от ЕН на две подобни. Височината се изпуска от върха B, който се разделя от сегмент ЕХ на две части - B1 и B2. Получаване PABSD / 2 = (BS + EH) * V1 / 2 = (AP + EH) * В2 / 2 = PABSD (BP + BS) * (В1 + В2) / 2. Освен това съставите на системата, при което първото уравнение (BS + EH) * В1 = (BP + EH) * В2 и втори (BS + EH) * В1 = (BP + BS) * (В1 + В2) / 2. От това следва, че В2 / В1 = (BS + EH) / (BP + EH) и BS + EH = ((BS + BP) / 2) * (1 + B2 / В1). Получаваме, че дължината на сегмента, разделяща трапецовия на две равни части, е равна на средната дължина на квадратен корен: радикал - ((BS2 + AD2) / 2).

Примери за заключение

По този начин доказахме, че:

1. Сегментът, свързващ се в трапецума на средата на страничните страни, е паралелен на артериалния и BS и е равен на средната аритметична стойност на BS и AD (дължината на основата на трапеца).

2. лента, минаваща през точка О на пресичане на диагоналите паралелно АД и пр ще бъде равна на хармоничните средни числа BP и BS (2 х BS * AD / (AD + BC)).

3. Сегментът, разделящ трапецовия на подобни, има дължината на средната геометрична база на BS и AD.

4. Елементът, разделящ фигурата на две равни части, има дължината на средния квадрат на номерата AD и BS.

За да консолидира материала и осъществи връзката между разглежданите сегменти, ученикът трябва да ги изгради за определен трапец. Той може лесно да показва средната линия и сегментът, преминаващ през точка О - пресечната точка на диагоналите на фигурата - успоредно на основите. Но къде ще бъде третият и четвъртият? Този отговор ще накара учещия да открие желаната връзка между средните стойности.

Сегментът, свързващ средните точки на диагоналите на трапеца

Обърнете внимание на следното свойство на тази фигура. Предполагаме, че сегментът MN е успореден на основите и разделя диагоналите наполовина. Точките на пресичане ще се наричат ​​W и W. Този сегмент ще бъде равен на полу-разликата на базите. Нека анализираме това по-подробно. MS е средната линия на триъгълника ABC, тя е равна на BS / 2. MN е средната линия на триъгълника ABD, тя е равна на AD / 2. След това получаваме Wm = MN-MN и следователно W, = A / 2-BC / 2 = (AD + BC) / 2.

Център на тежестта

Да разгледаме как е дефиниран този елемент за дадена геометрична фигура. За това е необходимо да се разширят основите в противоположни посоки. Какво означава това? Необходимо е да добавите дъното към горната основа - от двете страни, например отдясно. И долната част се удължава с дължината на горния ляв ъгъл. След това ги свържете с диагонал. Точката на пресичане на този сегмент със средната линия на фигурата е центърът на тежестта на трапеца.

Вмъкнати и описани трапези

Да разгледаме характеристиките на тези цифри:

1. Трапец може да бъде вписан в кръг само ако е равнобедрен.

2. Около периферията може да се опише трапец, при условие че сумата от дължините на техните основи е равна на сумата от дължините на страничните страни.

Последици от вписания кръг:

1. Височината на описания трапец е винаги равна на два радиуса.

2. Страничната страна на описания трапец се наблюдава от центъра на окръжността под прав ъгъл.

Първият резултат е очевиден и за да докажем второто, трябва да установим, че ъгълът на SOD е директен, което всъщност не е много трудно. Но познаването на тази собственост ще ни позволи да приложим правоъгълен триъгълник при решаване на проблеми.

Сега нека да конкретизираме тези последици за еднозъбения трапец, който е вписан в кръг. Получаваме, че височината е средната геометрия на основата на фигурата: H = 2R = radic- (BS * AD). Разработвайки основния метод за решаване на проблемите за трапецовете (принципа на задържане на две височини), студентът трябва да реши следващата задача. Предполагаме, че BT е височината на една isosceles фигура на ABSD. Необходимо е да се намерят сегменти AT и TD. Прилагайки формулата, описана по-горе, това няма да е трудно.

Сега нека разберем как да определим радиуса на окръжността, използвайки описаната област на трапец. Спускаме от върха В височината до основата на кръвното налягане. Тъй като кръгът е вписан в трапеца, тогава BS + AD = 2AB или AB = (BS + AD) / 2. От триъгълника ABN намираме sinalpha- = BN / AB = 2 * BN / (BS + AD). PBSD = (BS + AD) * BN / 2, BN = 2R. Получаваме PABBR = (BS + AD) * R, следва, че R = PABSD / (BS + AD).

.

Всички формули на средната линия на трапеца

Сега е време да преминете към последния елемент на тази геометрична фигура. Да видим какво е средната линия на трапеца (M):

1. Чрез базите: M = (A + B) / 2.

2. Чрез височина, основа и ъгли:

• М = А-Н * (ctgalpha- + ctgbeta -) / 2;

• М = В + Н * (ctgalpha- + ctgbeta -) / 2.

3. Чрез височината, диагоналите и ъгъла между тях. Например, D1 и D2 са трапецо- алфа-, бета- - ъглите между тях:

М = D1 * D2 * sinalpha- / 2H = D1 * D2 * sinbeta- / 2H.

4. Чрез площта и височината: M = P / H.