Как да се изчисли площта: формули, примери за изчисления

В много области на ежедневието геометрията помага на хората да отговорят на важни въпроси и да решават проблеми на живота. Преди 4 хиляди години това знание вече е било използвано например в Древен Египет за управление на земите. И днес много професии, от модни дизайнери до архитекти, се нуждаят от основни геометрични знания, за да знаят как да изчисляват района.

Повърхност на тялото и неговата площ

Това е мярка колко пространство е в една плоска форма. По принцип площта е сумата от всички области на геометричните форми, които покриват повърхността на обекта. Изчислете площта на повърхността на тялото често се изисква в ежедневието, например, за да разберете колко боя трябва да купите, за да покриете стената или шисти за ремонт на покрива на къщата.

Хората отдавна са се научили да определят областта на плоските геометрични форми, като използват метода на мрежата. Състои се от факта, че на измерената фигура се прилага мащабируема мрежа от прости квадрати, например 1х1см. След това е лесно да се изчисли квадратурата, като се брои броя квадратчета на мрежата във формата. В този случай всеки квадрат на мрежата има ширина 1 см и височина 1 см, а площта на този квадрат е една квадратен сантиметър.

Използването на решетка за броене на квадратчета във форма е много прост начин за определяне на областта, но не може да се използва за определяне на областта на сложни форми. Площта на такива сложни обекти може да се изчисли, като се използват прости математически формули. Най-простите и най-често използваните изчисления в живота са квадратите и правоъгълниците и трябва да знаете как да изчислите площта в метри.

Често в действителност изчисленията могат да бъдат по-сложни. Например, типичен план на етажа на стая може да не се състои от обикновен правоъгълник или квадрат. В този случай, преди да се изчисли общата площ, е необходимо да се раздели измерената сложна повърхност на няколко прости геометрични фигури.

Просто изчисляване на правоъгълник

Ако погледнете отблизо, можете да видите много примери за правоъгълници. По дефиниция, правоъгълникът е четириъгълен многоъгълник, чиито ъгли са под прав ъгъл от 90 градуса. Изчислете повърхността на тялото на правоъгълник е проста математическа операция, която най-често се използва от човек в ежедневието. Защо е важно да се знае формулата на района? Много обекти и околната среда около човек имат правоъгълна форма: къща, стени, под, покрив. И много често трябва да знаете техния район за строителство или ремонт.

Ако правоъгълникът има дължина b и ширина h, можем да намерим областта S, като умножим ширината по нейната дължина. Следователно: S = bxh.

Пример. Как да изчислим площта на правоъгълник, ако страната и ширината са известни, например, дължината е 4 см и ширината е 3 см, а след това: S = 4х3 = 12.

Отговор: 12 см².

Квадратът е вид правоъгълник с равни ъгли и страни.

S = bxb = b².

Пример. Ако квадратът има страни от 3 см, можем да намерим S, като квадратираме страничната стойност. Следователно, имаме: S = 3x3 = 9.

Отговор: 9 см².

Формули за паралелограма

Едно паралелограм е четириъгълен многоъгълник с две двойки паралелни страни със същата дължина. По дефиниция, правоъгълникът също е паралелограм тип, но с равни ъгли. Районът на паралелограма се изчислява по същия начин, както за правоъгълника (височина × ширина), но е важно да се разбере, че височината не означава дължината на вертикалните страни, а разстоянието между страните.

От фигурата може да се види, че височината е разстоянието между две успоредни страни на паралелограма, разположени под прав ъгъл между тях. S = ADxh. S = bxh, където AD = b е основата, h е височината.

Пример. Ако паралелограма има основа 3 cm и височина 2 cm, тогава площ S е равна на продукта на основата по височина. Следователно, имаме: S = 3x2 = 6.

Отговор: 6 см².

Основата на трапеца

Помислете как да изчислявате правилно площта на трапеца. Трапезът е четириъгълен многоъгълник с една двойка паралелни страни. Ако две не паралелни страни имат една и съща дължина, формата се нарича равнобедрен или обикновен трапец. Ако не-паралелните страни имат различни дължини, то се нарича не-осанчести. Въпреки това, въпреки тази допълнителна сложност в дефиницията, площта на грешния трапец може да бъде изчислена като се използва проста формула.

Измервания за изчисляване на площта на трапеца:

1. Подравнете правия ръб на уреда по по-късата от двете паралелни страни.
2. Използвайте уреда, за да изчертаете линията перпендикулярно от основата на трапеца в противоположната успоредна страна.
3. Измерете разстоянието до височина с помощта на лоста.
4. Измерете дължината на късата успоредна страна.
5. Измерете дължината на по-дългата успоредна страна.
6. За да намерите областта на трапеца, първо трябва да изчислите средната стойност на двете паралелни страни: (a + b) / 2.
7. Площта на равнобедрен (или какъвто и да е) трапец е равен на произведението от средната дължина на основата и върха до височината.
8. Трапезна площ: S = 1/2 × h × (a + b).

Трябва да се отбележи, че височината на трапеца е винаги перпендикулярна на основата, точно като височината на паралелограма. Пример: a = 3 cm, b = 5 cm, h = 4 cm S = 4 х (3 + 5) / 2 = 16.

Отговор: 16 см².

Видове триъгълници

Триъгълникът е многоъгълник, който има три страни и може да бъде причислен към следните типове:

• Равностранният триъгълник има равни страни и равни ъгли.
• Изоцелският триъгълник има две еднакви страни и два еднакви ъгъла.
• Разнообразният триъгълник има три неравномерни страни и три неравномерни ъгъла.
• Правоъгълен триъгълник има един прав ъгъл от 90 градуса.
• Триъгълник с остър ъгъл има всички ъгли под 90 градуса.
• Тръбовият триъгълник има един ъгъл, по-голям от 90 градуса.

Районът на всеки триъгълник се определя от формулите.

1. Как се изчислява площта на триъгълник, ако височината и основата на триъгълника са известни:

• S = 1frasl-2 × a × h, където: h е височината и a е основата.
• S = 1frasl-2xa × b × sinalpha-, където: a, b са две страни, алфа- е ъгълът между тях.
• S = p × r, където: p = (a + b + c) / 2 - полупериметър, a, b, c - три страни, r - радиус на окръжността.

Площ на равностранен триъгълник:

• S = a²hradic-3 frasl-4, където a = b = c.

Районът на триъгълник:

• S = 1frasl-4xbxradic- (4a²-б²).

2. Как да се изчисли площта на триъгълник, ако са дадени две страни и ъгъл между тях:

• S = 1frasl-2axaxxinC = 1frasl-2xbxcxsinA = 1frasl-2xaxcxsinB.

Пример 1: Намерете триъгълника S, чиято страна е 14 см, а височината е 10 см.

Разтворът е: b = 14 cm, h = 10 cm, А = 1 фрас-2х14х10 = 70

Отговор: 70 см².

Пример 2. Намерете района на триъгълника, чиито страни и ъгълът между тях са дадени по следния начин: a = 5 cm и b = 7 cm, C = 45 °.

Решение: Зона на триъгълника = 1frasl-2xaxbxsin 45.

Площ = 1 фрас-2 × 5 × 7 × 0.707 (от sin45 = 0.707)

Площ = 1 фрас-2 × 24.745 = 12.3725

Отговор: 12.3725 cm².

Пример 3. Намерете района (в m²) от триъгълник, чиито страни са 10 м и основата е 12 м.

Решение: Районът на един триъгълник е определен като:

А = 1 фрас-4хбрадикал- (4а²-б²) А = 1 фрас-4х12xradic- (4х (10)²-(12)²) А = 48

Отговор: 48 м².

Пример 4. Намерете областта на триъгълника, чиито страни са съответно 8, 9 и 11. Всички единици са в метри (м).

Решение: Страните a = 8, b = 9 и c = 11. Съгласно формулата на Heron, площта на триъгълника може да се определи по следната формула: A = radic- (sx (sa) x (sb) x (sc)). На първо място, трябва да определим s, което е половин-пермитър на триъгълника: s = 1frasl-2x (a + b + c) = 1frasl-2x (8 + 9 + 11) = 14.

Сега, вмъквайки стойността на половин-периметъра във формулата на Герон, можем да определим областта на триъгълника: A = radic- (sx (sa) x (sb) x (sc)). А = радикал- (14х (14-8) х (14-9) х (14-11)). А = радикал- (1260) = 35,50

Отговор: 35,50 м².

Измерване на диамантената област

Ромбът е специален вид паралелограм, имащ равни страни и равни противоположни ъгли. Ромбозната област може да се определи по три начина.

1. Метод на височината на основата. Първо, изберете едната страна като основа, тъй като те имат еднаква дължина. След това определете височината - перпендикулярно разстояние от избраната база до противоположната страна.

• Районът е продукт на тези две количества и се определя от формулата: S = a × h, където: S е диамантената област, h е диамантът височина, AB = BC = AD = DC = a е диамантената страна.

2. Методът на диагоналите. Друга проста формула за зоната на ромб, когато са известни дължините на диагоналите. Районът е половината от продукта на диагоналите.

• Като формулата: S = 1 / 2xACxBD, където: S - диамантен участък, AC - голям диагонал, BD - по-малък диагонал.

3. Използване на тригонометрия. При тригонометрията има удобна формула, когато дължината на страниците и всеки ъгъл са известни:

• S = a2 × sin алфа-, където: S е областта на диаманта, B = BC = AD = DC = a е страната на диаманта, алфа- е остър ъгъл, бета- - тъп ъгъл.

Повърхността на кръга

Кръгът е форма, състояща се от затворена извита линия. Всяка част от линията е на същото разстояние от центъра на региона, наречена радиус. От древни времена е известно как да се изчисли площта на окръжност, ако е определен радиус. Площта на окръжността се изчислява по формулата S = pi-xr², където: S е областта на кръга,

pi е числото на pi (3.1415), r е радиусът на окръжността.

За да намерите областта на кръга, изпълняваме следните действия. Регистрирайте радиуса или диаметъра на стойността съответно като r или d. Как да се изчисли площта на кръг, ако диаметърът е даден? Това е съвсем просто, трябва да изчислите радиуса, като разделите диаметъра на 2 и умножете данните с калкулатор или ръчно. Отговорът ще бъде в квадратни единици.

Проблем: Намерете района на кръг с радиус 10 см.

Решение: Имаме радиус на кръга = 10 см. Площта на окръжността = 3.1416 × 10 × 10 = 314.16.

Отговор: 314,16 cm².

Намерете областта на кръга с диаметър 15 см.

Разрешение: Имаме диаметър на кръга = 15 см. Радиус = 15/2 = 7.5 см. Площта на окръжността = 3.14х7.5х7.5 = 176.625 = 176.63 (закръглена до 2 десетични знака).

Отговор: 176,63 cm².

Прости геометрични форми на покриви

Преди да извършите покривни работи, трябва да знаете как да изчислите площта на покрива, за да определите колко материал е необходим. Неговото количество трябва винаги да се взема с марж и да се добавят най-малко 10% от общата площ на покрива, за сметка на строителните отпадъци.

Преди схемата за изчисляване на покрива е разделен на прости геометрични фигури, в този пример, две трапеци и два триъгълника. Как да се изчисли покривната площ за трапецовидни елементи? Районът се изчислява по следната формула: S = (А + В) XH / 2, където: А - ширината на долната надвисналата - 10 м, б - широчина на билото - 7 m, Н - височина - 5 m.

За триъгълни елементи се използва формулата: S = axh / 2, където: a - ширината на рампата по долния надвес - 7 m, h - височината на рампата - 3 m.

Ред на измерване:

1. Измерете дължината, ширината и височината на всяка геометрична фигура на покрива, включително предните стъкла. Тази информация може да бъде достъпна в оригиналния план на сградата или, ако покривната повърхност е сравнително ниска и плоска, можете да я измервате сами. Ако самият собственик на къщата не може безопасно да се изкачи на покрива, изчислението може да бъде направено чрез външни измервания на сградата.
2. Умножете дължината и ширината на всяка триъгълна или трапецовидна равнина поотделно.
3. Изчислява областта за симетрични триъгълни равнини, чрез умножаване на дължината на триъгълник база (най-дългата страна) на височината (разстояние от центъра на най-дългата страна на противоположния ъгъл).
4. След това разделете общо на 2, за да получите резултата в квадратни метри. S = axh / 2 = 7x3 / 2 = 10,5 m².
5. Изчислете областта на трапеца, се умножи ширината на долната надвес плюс ширината на билото на височината (разстоянието от центъра на най-дългата страна на противоположния ъгъл).
6. След това разделете общо на 2, за да получите резултата в квадратни метри.
7. Умножете площта с 0,1, за да получите 10% допълнителна такса за запаса от покривен материал S = (a + b) xh / 2 = (10 + 7) * 5/2 = 42,5 m².
8. Сгънете областите на всички фигури заедно. S = 10,5 + 10,5 + 42,5 + 42,5 = 106 m².
9. Резултатът е обща покривна площ от 106 м², с размери 116 м².

Инструментални измервания у дома

За да се измери площта на къщата, ще са необходими инструменти, за да се правят прецизни изчисления, които могат да формират основата за ремонтни дейности, покупка или застраховка на дома. Преди да изчислите района, трябва да вземете лента, молив и бележник, на които да нарисувате проста схема на плана на къщата. Тя може да бъде взета от паспорта на разработчика или други документи на проекта. С последния източник трябва да сте внимателни, тези цифри може да не са винаги точни, например, някои ремонти може да не са включени в тях. Поради това ще бъде по-правилно да извършите сами измерване на района.

Как да се изчисли площта на къщата на ръка? Ако искате да измервате площта на пода ръчно, най-добре е да измерите външните стени, като не забравяте различните дебелини на сградите, помещенията за поддръжка, горните етажи, отделни сгради или гаражи. Когато се правят прости основни измервания, площта се изчислява, като се умножи дължината на къщата по ширината.

В зависимост от формата на конструктивния план, може да се наложи да го пречупите в прости геометрични форми. В този пример къщата е на 9 метра на 12 метра, което ни дава 108 квадратни метра. Гаражът е от 6 метра до 3 метра, което е 18 квадратни метра, а общата му площ е 126 квадратни метра.

Предварителни ремонтни измервания на пода

Как да се изчисли площта на пода преди ремонт, например, промяна на линолеум или живопис? За квадратна или правоъгълна стая първо трябва да измерите дължината и ширината на стаята. След това умножете дължината и ширината, получаваме дължината x ширина = площ. Така, ако стаята е с дължина 3 метра и дължина 5 метра, общата площ е 15 квадратни метра.

Това измерване може да се използва за изчисляване на необходимото количество хаван, уплътнител, линолеум, който собственикът планира да използва за своя проект. За да се изчисли площта за избор на материали, обикновено трябва да добавите 10% коефициент на сигурност: просто умножете площта с 1,1 и след това се закръгля до цяло число.

В примера, когато общата площ е 15 м², ще е необходимо да поръчате допълнително количество плочки и хоросан за 16,5 квадратни метра. Ако стаята не е правоъгълна, е необходимо да се раздели на две или повече елементарни геометрични фигури, за да се изчисли общата площ.

Калкулатор за грешната фигура

Много често измереното пространство има много сложна форма, което не винаги е възможно да се разпадне на прости елементи.

За да определите такава област, трябва да използвате приложението SketchAndCalc в Интернет. Това е калкулатор на областта на неправилни цифри за всяка форма на изображение. Това е единственият калкулатор на област, който може да се изчислява върху заредените изображения, има уникална функция, която позволява на потребителя да мащабира рисунката на всяко изображение, преди да рисува периметъра. По този начин ъглите или кривите на неправилната фигура лесно се изчисляват.

Казано по-просто, ако има един образ, който може да бъде изтеглен или карта адрес за търсене, можете да изчислите площта на неправилни форми, без значение колко сложна е просто рисунка периметъра на областта. Калкулаторът може дори да обобщи изчисленията на няколко области заедно чрез изчертаване на слоеве. След като изчислите първата област, можете да добавите нов слой за рисуване, който ви позволява да изпълнявате неограничен брой изчисления на областта.

Резултатите от калкулатора на района са показани в инчове и метри, което увеличава неговата полезност и премахва необходимостта от преобразуване. Това заедно с точните инструменти за рисуване и увеличение гарантира, че зоните на всяка грешна цифра се изчисляват точно. Той може също така да постави правилните многоъгълни форми с фиксирани ъгли и точни линии.

Инструмент с ограничен шаблон е свързан с общите ъгли и дължината може да се редактира ръчно с помощта на клавиатурата. Приложението е полезно, ако измерената площ има права страна или дължина. Друга уникална черта на SketchAndCalc TM е, че разполага с усъвършенстван инструмент за чертане на неправилни форми. Някои приложения за калкулатори на области ви позволяват да търсите в картата.

SketchAndCalc прави това много точно, като използва търсенето на дължина и ширина. Независимо дали измерваната площ е на земеделска земя или в морето, потребителят ще отдели по-малко време за търсене и повече време за изчисляване на площта на територията. Това е универсална услуга, използвана в много отрасли, в строителството, градинарството. Използва се и от ентусиасти за подобряване на домовете и местните райони. Терен калкулаторът или калкулаторът на земната повърхност също намира своите потребители сред геодезистите. Сега те знаят как да изчислят площта на площада лесно и бързо.

Въпреки това, в допълнение към тези общи цели, много работа в областта на образованието, медицината, науката и изследванията изискват изчисляването на площта на неправилни форми, като например клетъчните мембрани и други предмети, намерени в биологията, и сме щастливи да използвате това приложение.

За да приложите математика в ежедневието, не е достатъчно да можете да разчитате на една плюс една. Основен аспект на околната среда са геометричните структури, т.е. представянето на ежедневните обекти в правоъгълна, квадратна, кръгова или триъгълна форма. И трябва да можете да изчислите необходимата площ.

В допълнение, геометрични форми се използват при конструирането на диаграми, диаграми, презентации. Ето защо е толкова важно да можете да правите различни изчисления, включително изчисляване на района.