Синьо теорема. Решаване на триъгълници

Проучването на триъгълници неволно повдига въпроса за изчисляване на връзката между техните страни и ъгли. В геометрията косинусова теорема и задължително дава най-пълен отговор за решаване на този проблем. В изобилие от различни математически изрази и формули, закони, теореми и правила има такива, че те се различават в извънредна хармония, кратка и простота в предаването на съдържанието, което се съдържа в тях. Синорната теорема е ярък пример за такава математическа формулировка. Ако в устната интерпретация има и известно препятствие в разбирането на това математическо правило, тогава когато погледнете математическата формула всичко незабавно попада на мястото си.

Първата информация за тази теорема е намерена под формата на нейното доказателство в рамките на математическата работа на Насир ад-Дин Ал-Туси от тринадесети век.

Приближавайки се по-близо до отчитането на съотношението на страните и ъглите във всеки триъгълник, заслужава да се отбележи, че задължителната теорема позволява решаването на много математически проблеми, докато този закон на геометрията намира приложение в различни видове практическа човешка дейност.

Самостоятелната теорема посочва, че за всеки триъгълник, страните са пропорционални на сините на противоположни ъгли. Съществува и втората част на тази теорема, според която съотношението на всяка страна на триъгълника към синуса на противоположния ъгъл е диаметър на кръг, описан близо до разглеждания триъгълник.

Под формата на формула изглежда този израз

a / sinA = b / sinB = c / sinC = 2R

Има теорема за задължително доказателство, което в различни версии на учебници се предлага в богато разнообразие от версии.

Например разгледайте едно от доказателствата, които обясняват първата част на теоремата. Затова нека си поставим за цел да докажем валидността на израза аSINC=вSina.

В произволен триъгълник ABC конструираме височината BH. В един от вариантите на конструкцията, H ще лежи на сегмента AC, а в другия извън нея, в зависимост от ъглите на върховете на триъгълниците. В първия случай височината може да се изрази по отношение на ъглите и страните на триъгълника, като BH = a sinC и BH = c sinA, което е необходимо доказателство.

В случай, когато точката Н е извън границите на сегмента AC, можем да получим следните решения:

BH = sinC и BH = c sin (180-A) = c sinA;

или BH = sin (180-C) = a sinC и BH = c sinA.

Както виждаме, независимо от конструктивните възможности, постигаме желания резултат.

Доказателството за втората част на теоремата изисква да опишем кръг около триъгълника. Чрез една от височините на триъгълника, например В, ние конструираме диаметъра на кръга. Получете точка в кръга D с една от височините на триъгълника, нека да е точка А на триъгълника.

Ако разгледаме получените триъгълници ABD и ABC, тогава можем да забележим равенството на ъглите C и D (те се основават на една дъга). И като се има предвид, че ъгълът А е деветдесет градуса, тогава грехът D = c / 2R, или грехът C = c / 2R, което трябваше да бъде доказано.

Синорната теорема е началната точка за решаване на широк кръг от различни проблеми. Специална атракция е нейното практическо приложение, като следствие от теоремата, ние можем да свържем стойностите на страните на триъгълника, противоположните ъгли и радиуса (диаметъра) на окръжността, очертана около триъгълника. Опростеността и достъпността на формулата, описваща този математически израз, направи възможно широкото използване на тази теорема за решаване на проблеми, използвайки различни механични преброяващи устройства (логаритмични владетели, маси и т.н.), но дори пристигането на мощни изчислителни устройства в услуга на човек не е намалило значимостта на тази теорема.

Тази теорема не само е включена в задължителния курс на геометрията на средното училище, но се прилага и в определени отрасли на практическата дейност.