Синус, косинус, допирателна: какво е това? Как да намерите синусоида, косинуса и допирателната?

Една от секторите на математиката, с която студентите се справят с най-големите трудности, е тригонометрията. Това не е изненадващо: свободно да овладеят тази област на знанието, тя изисква пространствено мислене, способността да се намери синус, косинус, тангенс, котангенс на формули за опростяване на израза, за да може да се използва при изчисляване на стойността на Пи. В допълнение, трябва да сме в състояние да използва тригонометрията да се докаже, теореми, а това изисква разработен математически памет или възможност да показва сложна логика верига.

Произход на тригонометрията

Запознаването с тази наука трябва да започне с дефиницията на синусоида, косинуса и допирателната към ъгъла, но първо трябва да разберем какво тригонометрия като цяло прави.

В исторически план основният обект на изследването в тази секция на математическата наука е правоъгълни триъгълници. Наличието на ъгъл от 90 градуса прави възможно извършването на различни операции, които позволяват да се определят стойностите на всички параметри на въпросната фигура от две страни и един ъгъл или от два ъгъла и от едната страна. В миналото хората забелязали този модел и започнали да го използват активно в строителството на сгради, навигация, астрономия и дори изкуство.

Първоначален етап

Първоначално хората говореха за връзката на ъглите и страните изключително на примера на правоъгълни триъгълници. След това бяха отворени специални формули, които позволиха да се разширят границите на употреба в ежедневието на този раздел от математиката.

Проучването на тригонометрията в училище днес започва с правоъгълни триъгълници, след което учениците използват знанията във физиката и решават абстрактни тригонометрични уравнения, чиято работа започва в горните класове.

Сферична тригонометрия

По-късно, когато науката е влязъл на следващото ниво на развитие, с формула синус, косинус, тангенс, котангенс са били използвани в сферична геометрия, където има различни правила, както и сумата от ъглите в триъгълник е винаги по-голям от 180 градуса. Този раздел не се преподава в училище, но да се знае за неговото съществуване трябва да бъде минимум, тъй като повърхността на земята, и на повърхността на всяка друга планета, е изпъкнал, а оттам и всички повърхностни маркировки ще бъдат в триизмерното пространство "дъга".

Вземете глобуса и конеца. Прикрепете нишката към всяка две точки на земното кълбо, за да го опънете. Обърнете внимание - тя е намерила формата на дъгата. С такива форми се прилага сферична геометрия, която се използва в геодезията, астрономията и други теоретични и приложни полета.

Правоъгълен триъгълник

Малко методи за обучение за прилагане на тригонометрията, ние се върнете към основния тригонометрията да се разбере по-нататък това, което задължително, косинус, тангенс, някои изчисления могат да ги използват за извършване и каква формула, в която използва.

На първо място, е необходимо да се разбират понятията, свързани с триъгълник с прави ъгъл. Първо, hypotenuse е страната, която се намира срещу ъгъл от 90 градуса. Това е най-дългата. Спомняме си, че чрез питагорейската теорема числената й стойност е равна на корена на сумата от квадратите на другите две страни.

Например, ако двете страни са съответно 3 и 4 сантиметра, дължината на хипотенузата ще бъде 5 сантиметра. Между другото, древните египтяни са знаели за това преди около четири и половина хиляди години.

Двете останали страни, които формират прав ъгъл, се наричат ​​катети. Освен това трябва да помним, че сумата от ъглите в триъгълника в правоъгълна координатна система е 180 градуса.

дефиниция

И накрая, разбирайки геометричната база, можем да се обърнем към дефиницията на синусоида, косинуса и допирателната на ъгъла.

Синус на ъгъл е съотношението на противоположния крак (т.е. страната, която е срещу желания ъгъл) към хипотенузата. Косинусът на ъгъла е съотношението на съседното краче към хипотенузата.

Не забравяйте, че нито задължителният, нито косинусът могат да бъдат по-големи от един! Защо? Тъй като хипотенузата е по подразбиране най-дългата страна на десния триъгълник. Независимо колко дълго е катетърът, той ще бъде по-кратък от хипотенузата, което означава, че тяхното съотношение винаги ще бъде по-малко от едно. По този начин, ако в отговора на проблема имате задължително или косинус със стойност по-голяма от 1, потърсете грешка в изчисленията или разсъжденията. Този отговор е недвусмислено погрешен.

Накрая, тангентата на ъгъла е съотношението на противоположната страна към съседната страна. Същият резултат ще доведе до разделянето на синусите на косинуса. Погледнете: според формулата разделяме дължината на страната от хипотенузата, след това се разделяме по дължината на втората страна и се умножаваме с хипотенузата. Така получаваме същата връзка, както в дефиницията на допирателната.

Копангант, съответно, е съотношението на страната, съседна на ъгъла към противоположната страна. Същият резултат се получава чрез разделяне на единицата от допирателната.

Така че, ние разгледахме определенията за това какво са задължителни, косинусови, допирателни и котангентни и можем да се справим с формули.

Най-простите формули

В тригонометрията не можете да правите без формули - как да откриете задължително, косинус, допирателна, котангента без тях? Но това е необходимо за решаването на проблемите.

Първата формула, която трябва да знаете, когато започнете да учите тригонометрия, е, че сумата от квадратите на синусоида и косинуса на ъгъла е една. Тази формула е пряко следствие от питагорейската теорема, но спестява време, ако искате да знаете величината на ъгъла, а не страната.

Много ученици не могат да си спомнят втората формула, която също е много популярна при решаването на училищните проблеми: сумата от единицата и квадрата на допирателната на ъгъла е равна на една, разделена на квадрата на косинуса на ъгъла. Погледнете по-отблизо: това е същото изявление, както в първата формула, само двете страни на идентичността са разделени на квадрат на косинуса. Оказва се, че една проста математическа операция прави тригонометричната формула напълно неразпознаваема. Запомнете: знаейки какво е задължително, косинус, допирателна и котангентна, правилата за трансформация и няколко основни формули, можете по всяко време да извлечете изискваните по-сложни формули на лист хартия.

Двуъгълни формули и добавяне на аргументи

Още две формули, които искате да научите, са свързани със синусовите и косинусовите стойности за сумата и разликата в ъглите. Те са представени на фигурата по-долу. Обърнете внимание, че в първия случай синусите и косинусите се умножават и в двата случая, а във втория случай се добавя двоен продукт на синусоида и косинуса.

Съществуват и формули, свързани с аргументите под формата на двоен ъгъл. Те са напълно извлечени от предишните - като тренировка, опитайте се да ги получите сами, като вземете алфа ъгъл, равен на бетата ъгъл.

Накрая, имайте предвид, че формулите с двоен ъгъл могат да бъдат трансформирани така, че да се намали степента на синусоида, косинуса, допирателната алфа.

теорема

Две основни теореми в основната тригонометрия са синусовата теорема и косинусовата теорема. С помощта на тези теореми можете лесно да разберете как да намерите синусоида, косинуса и допирателната, а оттам и областта на фигурата, размера на всяка страна и т.н.

В задължителната теорема се заявява, че в резултат на разделянето на дължината на всяка страна на триъгълника от размера на противоположния ъгъл получаваме същия номер. Освен това това число ще бъде равно на два радиуса на окръжния кръг, т.е. кръг, съдържащ всички точки на даден триъгълник.

Теоремата на косинуса обобщава питагорейската теорема, като я проектира върху триъгълници. Оказва се, че от сумата от квадратите на двете страни се изважда техният продукт, умножен по двойния косинус на съседния ъгъл - получената стойност ще бъде равна на квадрата на третата страна. Така, питагорейската теорема се оказва специален случай на косинусовата теорема.

Грешки при невнимание

Дори да знаем какво е задължително, косинус и допирателна, лесно може да се направи грешка поради отвличане на внимание или грешка в най-простите изчисления. За да избегнем такива грешки, ще се запознаем с най-популярните.

Първо, не трябва да превръщате обикновените фракции в десетични числа, докато не получите крайния резултат - можете да оставите отговора като обикновена фракция, ако условието не предвижда друго. Такава трансформация не може да се нарече грешка, но трябва да се припомни, че на всеки етап от задачата могат да се появят нови корени, които според намерението на автора трябва да бъдат намалени. В този случай ще изгубите времето си в ненужни математически операции. Това важи особено за стойности като корен от три или две, защото те се срещат при задачи на всяка стъпка. Същото се отнася до закръгляването на "грозни" номера.

Освен това, имайте предвид, че за всеки триъгълник теоремата на косинуса е приложима, но не и теоремата на Питагор! Ако погрешно забравите да извадите двойния продукт на страните, умножен по косинуса на ъгъла между тях, не само ще получите напълно погрешен резултат, но и ще демонстрирате пълно недоразумение за темата. Това е по-лошо от грешка поради невнимание.

Трето, не бъркайте стойности за ъгли от 30 и 60 градуса за сини, косинуси, допирателни, котангенти. Запомнете тези стойности, тъй като синусоида е 30 градуса равна на косинуса от 60 и обратно. Те лесно се бъркат, така че неизбежно ще получите грешка.

приложение

Много студенти не бързат да започнат да учат тригонометрия, защото не разбират приложеното от нея значение. Какво е задължително, косинус, допирателна за инженер или астроном? Това са понятия, чрез които можете да изчислите разстоянието до отдалечени звезди, да предскажете падането на метеорит, да изпратите сонда на друга планета. Без тях не можете да построите сграда, да проектирате кола, да изчислите товара на повърхността или траекторията на движението на обекта. И това са само най-очевидните примери! В крайна сметка тригонометрията в една или друга форма се използва навсякъде - от музика до медицина.

В заключение

Така че, вие знаете какво е задължително, косинус, допирателна. Можете да ги използвате в изчисленията и да решавате успешно училищните проблеми.

Цялата точка на тригонометрията се свежда до факта, че неизвестните параметри на триъгълника трябва да изчисляват неизвестни. Общо тези параметри са шест: дължината на трите страни и величината на трите ъгъла. Цялата разлика в задачите е, че са дадени различни входове.

Как да намерите синусоида, косинуса, допирателната от познатите дължини на краката или хипотенузата, сега знаете. Тъй като тези термини се отнасят не само съотношението, и съотношението - е фракция, основната цел на тригонометрични проблем става намирането на нормална уравнение или корените на уравнения. И тук ще ви помогнат обикновената математическа гимназия.