Какво е допирателната към кръга? Свойства на допирателната към окръжността. Общата допирателна към две кръгове

Secs, допирателни - всичко това стотици пъти можете да чуете в уроците на геометрията. Но завършването на училище зад гърба, минават години и всичко това знание е забравено. Какво трябва да си спомня?

същност

Терминът "допирателна към кръга" е познат на всички, вероятно. Но едва ли всеки ще може бързо да формулира определението си. Междувременно допирателната е права линия, лежаща в една равнина с кръг, който я пресича само в една точка. Може да има огромен брой от тях, но всички те имат същите свойства, които ще бъдат разгледани по-долу. Не е трудно да се предположи, че точката на допиране е мястото, където се пресичат кръга и линията. Във всеки случай, това е едно, но ако има повече, то вече ще е вече отсечено.

История на откриването и изучаването

Концепцията за допирателната се е появила в древни времена. Изграждането на тези редове до първия кръг, а след това към елипси, параболи и хиперболи с линийка и пергел проведе още в ранните етапи на развитието на геометрията. Разбира се, историята не е запазила името на откривателя, но е ясно, че дори и по това време хората са били добре познати свойства на допирателна към окръжност.

В днешно време интересът към този феномен отново се разпали - нов кръг от изучаването на тази концепция започна във връзка с откриването на нови криви. Така че, "Галилео" представи концепцията за циклоида, а Ферма и Декарт си поставиха тангент. Що се отнася до кръговете, изглежда, че дори в древността няма тайни в тази област.

свойства

Радиусът, изчертан в точката на пресичане, ще бъде е перпендикулярна на права линия. Това е основна, но не и единствената собственост, която е допирателна към кръга. Друга важна характеристика включва две прави линии. Така че, чрез една точка, разположена извън кръга, можете да нарисувате две тангенти и техните сегменти ще бъдат равни. Има още една теорема по тази тема, но рядко се провежда в рамките на стандартен курс, въпреки че е изключително удобен за решаване на някои проблеми. Звучи така. От една точка, разположена извън кръга, се привличат допирателна и секционна. Оформени са сегментите AB, AC и AD. А е пресечната точка на линиите, В е точката на допир, В и Д са пресечните точки. В този случай ще бъде валидна следната равнопоставеност: дължината на допирателната към окръжността, квадратна, ще бъде равна на произведението на сегментите AC и AD.

От гореизложеното има важно значение. За всяка точка от окръжността може да се конструира допирателна, но само една. Доказателството за това е съвсем проста: теоретично отпадайки перпендикуляра от радиуса, откриваме, че образуваният триъгълник не може да съществува. И това означава, че допирателната е уникална.

сграда

Сред другите проблеми в геометрията има специална категория, като правило не любящи ученици и студенти. За да разрешите задачи от тази категория, са необходими само компас и влак. Това са строителни задачи. Те са и изграждането на тангента.

Така че, има кръг и точка, разположена извън границите му. И е необходимо да се допира до тях. Как може да се направи това? На първо място трябва да нарисуваме сегмент между центъра на окръжността О и дадена точка. След това, използвайки компаса, трябва да го разделите на две. За да направите това, трябва да посочите радиус - малко над половината от разстоянието между центъра на оригиналния кръг и дадена точка. След това трябва да изградим две пресичащи се дъги. И радиусът на компаса не е необходимо да се променя, а центърът на всяка част от окръжността е началната точка и съответно О. Пресечните точки на дъгите трябва да бъдат съединени, което ще разделя сегмента на половина. Задайте радиус, равен на това разстояние на компаса. След това, с центъра в пресечната точка, изграждайте друг кръг. То ще съдържа както оригиналната точка, така и О. Ще има още две пресечки с дадения кръг в проблема. Те ще бъдат точките на допир до първоначално определената точка.

интересен

Това беше конструкцията на допирателни към кръга, довели до раждането диференциално смятане. Първата работа по тази тема бе публикувана от известния немски математик Leibniz. Той предвижда възможността за намиране на максимуми, минимуми и тангентове, независимо от частичните и ирационални стойности. Е, сега се използва за много други изчисления.

В допълнение, допирателната към окръжността е свързана с геометричното значение на допирателната. От това произлиза името му. В превод от латинските тангенси - "тангенс". По този начин, тази концепция се свързва не само с геометрията и диференциалното смятане, но и с тригонометрията.

Две кръгове

Не винаги допирателната ще засегне само една фигура. Ако огромен брой прави линии могат да бъдат съставени в един кръг, тогава защо не и обратното? Можете да. Това е само проблемът в този случай е сериозно сложно, защото допирателната към две кръгове не може да премине през никакви точки и взаимното подреждане на всички тези фигури може да бъде много по-различно.

Видове и сортове

Когато става въпрос за двата кръга и един или повече линии, а след това дори и да знаят, че това е за, не е ясно веднага как всички тези парчета са разположени във връзка един с друг. На тази основа разграничават няколко сорта. Така че кръговете могат да имат една или две общи точки или изобщо да нямат такива. В първия случай те ще се пресичат, а при втория - докосване. И тук ние различаваме два сорта. Ако един кръг е във вторият, тогава докосването се нарича вътрешен, ако не е, а после външен. Разбиране на относителната позиция на фигурите не може да се основава само на чертежа, но има информация за сумата от радиусите си, а разстоянието между центровете им. Ако тези две величини са равни, тогава кръговете докосват. Ако първото е повече - се пресичат и ако са по-малко - тогава нямаме общи точки.

Така че е с прави линии. За всеки два кръга, които нямат общи точки, може да се направи
конструирайте четири тангента. Две от тях ще се пресичат между фигурите, те се наричат ​​вътрешни. Няколко други са външни.

Ако говорим за кръгове, които имат една обща точка, тогава задачата е сериозно опростена. Факт е, че за всяко взаимно споразумение в този случай допирателната ще има само една. И ще премине през точката на пресичането им. Така че изграждането на трудността няма да причини.

Ако цифрите са две точки на пресичане, а след това те могат да бъдат построени линия до кръга, като този, а втората, но само отвън. Решението на този проблем е подобно на това, което ще бъде обсъдено по-късно.

Решаване на проблеми

И двете вътрешни и външни допирателни към двата кръга в конструкцията не са толкова прости, въпреки че този проблем е разрешен. Фактът е, че за тази цел се използва допълнителна фигура, за да можете сами да излезете с този метод е доста проблематично. По този начин са дадени два кръга с различни радиуси и центрове O1 и O2. За тях трябва да изградим две двойки допирателни.

На първо място, в близост до центъра на по-големия кръг, трябва да изградим помощна. В този случай разликата между радиусите на двете оригинални цифри трябва да бъде установена на компаса. От центъра на по-малък кръг се допират до спомагателния кръг. След това, от O1 и O2, перпендикуляри на тези прави линии се правят, преди да преминат с оригиналните фигури. Както следва от основната характеристика на допирателната, са намерени необходимите точки в двата кръга. Проблемът е решен поне в първата му част.

За да се изградят вътрешни допирателни, е необходимо да се реши практически подобен проблем. Отново имаме нужда от допълнителна фигура, но този път нейният радиус ще бъде равен на сумата от оригиналните. За нея допингът се изгражда от центъра на един от тези кръгове. По-нататъшният ход на решението може да бъде разбран от предишния пример.

Допирателна към кръг или дори две или повече не е толкова трудна задача. Разбира се, математиците отдавна са престанали да решават такива проблеми ръчно и да разчитат на изчисления на специални програми. Но не мислете, че сега не е нужно да можете да го направите сами, защото правилно формулирате задачи за компютъра, които трябва да направите и да разберете. За съжаление, има опасения, че след окончателния преход към тестовата форма на контрол на знанията строителните задачи ще предизвикат все повече и повече трудности за студентите.

Що се отнася до намирането на общи тангенти за повече кръгове, това не винаги е възможно, дори ако те са в една и съща равнина. Но в някои случаи можете да намерите такава права линия.

Примери от живота

В практиката често се среща често срещано допиране на два кръга, въпреки че това не винаги е забележимо. Конвейери, модулни системи, трансмисионни ремъци ролки, обтягане на конеца в шевна машина, но дори и само на велосипед верига - всички примери от живота. Така че не мислете, че геометричните проблеми остават само на теория: в инженерството, физиката, строителството и много други области те намират практическо приложение.