Как да намерим височината в триъгълник с равновесие? Формулата за намиране, свойствата на височината в един триъгълник

Геометрия - това не е просто един учебен предмет, на който трябва да се получи перфектен резултат. Това също е знание, което често се изисква в живота. Например, когато се строеше къща с висок покрив е необходимо да се изчисли дебелината на дървените трупи и техния брой. Това е лесно, ако знаете как да откриете височината в един триъгълник. Архитектурните структури се основават на познаването на свойствата на геометричните форми. Формите на сградите често визуално приличат на тях. Египетските пирамиди, на опаковките с мляко, артистичен бродерия, Северна живопис и дори торти - всички триъгълници, заобикалящи човека. Както каза Платон, целият свят се основава на триъгълници.

Изоцеленият триъгълник

За да стане по-ясно, какво ще бъде обсъдено по-нататък, си струва да помните основите на геометрията.

Триъгълникът е равнобедрен, ако има две еднакви страни. Те винаги се наричат ​​странични. Страницата, чиито размери се различават, се нарича основание.

Основни понятия

Както всяка наука, геометрията има свои собствени основни правила и концепции. Има много от тях. Помислете само за онези, без които нашата тема ще бъде донякъде неразбираема.

Височината е права, изчертана перпендикулярно на противоположната страна.

Медианата е сегмент, насочен от всеки връх на триъгълника, изключително до средата на противоположната страна.

Ъгълът е лъч, който разделя ъгъла наполовина.

Бисекторът на триъгълник е права линия или по-скоро сегмент bisectors на ъгъла, свързвайки върха с противоположната страна.

Много е важно да си припомним, че ъгловата преграда е непременно лъч, а бисекторът на триъгълник е част от такъв лъч.

Ъгли в основата

Теоремата казва, че ъглите, разположени в основата на всеки равнобедрен триъгълник, винаги са еднакви. Много е лесно да се докаже тази теорема. Обърнете внимание на показания триъгълник на изоскула ABC, за който AB = BC. От ъгъла ABC е необходимо да нарисувате bisector на VD. Сега помислете за получените триъгълника. При условието AB = BC, страната на AP за триъгълниците е обща и ъглите на ABD и SVD са еднакви, защото VD е bisector. Припомняйки първия знак за равенство, можем сигурно да заключим, че разглежданите триъгълници са равни. И следователно, всички съответни ъгли са еднакви. И, разбира се, партиите, но до този момент ще се върнем по-късно.

Височината на един триъгълник

Основната теорема, която се основава решение за почти всички задачи, е: височина в равностранен триъгълник е ъглополовящата и медианата. За да се разбере нейното практическо значение (или същност), е необходимо да се направи допълнителна помощ. За това е необходимо да изрежете триъгълник от хартия. Най-лесният начин да направите това е от стандартния тетрад лист в клетката.

Огънете получения триъгълник наполовина, подравнявайки страните. Какво стана? Два еднакви триъгълника. Сега трябва да проверите догадките. Разгънете оригами. Начертайте линия на фолд. С помощта на уреда, проверете ъгъла между изтеглената линия и основата на триъгълника. Какво казва ъгълът от 90 градуса? Фактът, че изчертаната линия е перпендикулярна. По дефиниция - височина. Как да открием височината в един триъгълник на осезаела, подредени сме. Сега нека разгледаме ъглите на върха. Използвайте един и същ пробойник, проверете ъглите, образувани сега от височината. Те са равни. Това означава, че височината е също така бицепс. Въоръжени с владетел, измервайте дължините, по които се разкъсва височината на основата. Те са равни. Следователно, височината в триъгълник на равновесие разделя основата наполовина и е медиана.

Доказателство за теоремата

Визуалната помощ ясно показва истината на теоремата. Но геометрията - науката е доста точна, затова изисква доказателство.

При разглеждането на равнопоставеността на ъглите в основата се доказва равнопоставеността на триъгълниците. Спомнете си, че VD е bisector, а триъгълниците на AVD и SVD са еднакви. Заключението беше това: съответните страни на триъгълника и, разбира се, ъглите са равни. Следователно, AD = SD. Следователно, VD е медианата. Остава да се докаже, че VD е височина. Изхождайки от равнопоставеността на разглежданите триъгълници, се оказва, че ъгълът на ADB е равен на ъгъла на VDV. Но тези два ъгъла са съседни и, както е известно, дават общо 180 градуса. Следователно, с какво се равняват? Разбира се, 90 градуса. По този начин, VD е височината в триъгълник, равен на основата. Както се изисква да докаже.

Основни характеристики

• За успешното решаване на проблемите е необходимо да се запомнят основните характеристики на осезаещите триъгълници. Те изглеждат обратни на теоремите.
• Ако в хода на решаването на даден проблем се установи равенство на два ъгъла, тогава вие се занимавате с един равнобедрен триъгълник.
• Ако беше възможно да се докаже, че медианата е едновременно с височината на триъгълника, смело заключаваме - триъгълникът е равнобедрен.
• Ако бисекторът е и височината, тогава, въз основа на основните характеристики, триъгълникът е означен като "isosceles".
• И, разбира се, ако медианата се появява в ролята на височина, тогава такъв триъгълник е равнобедрен.

Височина на формулата 1

Въпреки това, за повечето проблеми е необходимо да се намери аритметичната височина. Ето защо ние помислим как да намерим височината в един триъгълник.

Нека се върнем към фигурата ABC, показана по-горе, в която a са страните и c е основата. VD е височината на този триъгълник, той има означението h.

Какъв е триъгълникът на AED? Тъй като VD е височината, триъгълникът на ABD е правоъгълен, чийто катет е да бъде намерен. Използвайки формулата на Pythagoras, получаваме:

AV² = АД² + ВД²

След като определихме от израза VD и замествайки използваната преди това нотация, получаваме:

Н2 = а2 - (в / 2) ².

Необходимо е да извлечете корен:

Н = radic-а² - в² / 4.

Ако извадите от подкормата frac14-, тогава формулата ще изглежда така:

Н = frac12- radic-4a² - ².

Това е височината в равнобедрен триъгълник. Формулата произтича от теоремата на Pythagoras. Дори ако забравите това символично влизане, тогава, като познавате метода на намиране, винаги можете да го оттеглите.

Височина на формулата 2

Формулата, описана по-горе, е основната и най-често се използва при решаването на повечето геометрични проблеми. Но това не е единственото. Понякога в състоянието, вместо в основата, се дава стойността на ъгъла. С такива данни, как да се намери височината в един триъгълник isosceles? За да разрешите подобни проблеми, препоръчително е да използвате различна формула:

H = a / sin алфа-,

където H е височината, насочена към основата,

но - страната,

алфа- е ъгълът отдолу.

Ако задачата дава стойността на ъгъла на върха, то височината в триъгълника на равновесието е както следва:

Н = а / cos (бета- / 2),

където H е височината, паднала върху основата,

бета- е ъгълът отгоре,

а е страната.

Правоъгълен триъгълник с равнобедрен триъгълник

Много интересна е триъгълникът, чийто връх е на 90 градуса. Помислете десен триъгълник ABC. Както в предишните случаи, VD е височината, насочена към основата.

Ъглите в основата са еднакви. Изчислете тяхната страхотна работа няма да бъде:

алфа- = (180-90) / 2.

По този начин ъглите в основата са винаги 45 градуса. Сега помислете за триъгълника ADV. Тя също е правоъгълна. Нека намерим ъгъла на ABD. Чрез прости изчисления получаваме 45 градуса. И вследствие на това този триъгълник е не само правоъгълен, но и осантен. Страните AD и VD са странични страни и са еднакви помежду си.

Но страната на ВП по същото време е половината от страната на АС. Оказва се, че височината в равнобедрен триъгълник е половината от основата и ако е написана под формата на формула, получаваме следния израз:

Н = В / 2.

Трябва да се помни, че тази формула е изключително специален случай и може да се използва само за триъгълници с правоъгълни изолации.

Златни триъгълници

Много интересен е златният триъгълник. В тази фигура съотношението на страничната към основата се равнява на стойността, наречена Phidias номера. Ъгълът на върха е 36 градуса, а в основата - 72 градуса. Този триъгълник беше възхитен от питагорейците. Принципите на златния триъгълник са в основата на много безсмъртни шедьоври. Известно на всички петзвездна звезда е изградена на пресечната точка на триъгълници. За много творения Леонардо да Винчи използва принципа на "златния триъгълник". Състав "Gioconda" се основава точно на фигурите, които създават обикновен петоъгълник.

Живопис "кубизъм", един от творби на Пабло Пикасо, завладяваща гледка е в основата на равнобедрен триъгълник.