Евклидовото пространство: концепция, свойства, знаци

В училище всички студенти се запознават с концепцията за "евклидовата геометрия", чиито основни разпоредби са съсредоточени върху няколко аксиома, базирани на геометрични елементи като точка, равнина, линия, движение. Всички те в съвкупност форма, която отдавна е известна с термина "Евклидово пространство".

евклидовата пространство, определение който се основава на скаларното умножение на векторите, е специален случай на линейно (афинно) пространство, което отговаря на редица изисквания. Първо, скаларният продукт на векторите е абсолютно симетричен, т.е. векторът с координатите (x-y) е количествено идентичен с вектора с координатите (y-x), но е противоположен на посоката.

На второ място, в случай, че скаларният продукт на вектора се произвежда със себе си, резултатът от това действие ще има положителен характер. Единственото изключение е случаят, когато началната и крайната координати на този вектор са нула: в този случай и неговият продукт със себе си ще бъде равен на нула.

Трето, има разпределение на скаларния продукт, т.е. възможността за разлагане на една от неговите координати в сума от две стойности, която няма да доведе до промени в крайния резултат от скаларното умножение на векторите. Накрая, четвърто, когато векторите се умножават по едно и също реално число техният скаларен продукт също ще се увеличи със същия фактор.

В случай, че всички тези четири условия са изпълнени, можем да кажем с увереност, че имаме евклидовото пространство пред нас.

Евклидовото пространство от практическа гледна точка може да се характеризира със следните конкретни примери:

1. Най-простият случай е наличието на набор от вектори със скаларен продукт, дефиниран от основните закони на геометрията.
2. Евклидовото пространство се получава и в случаите, когато чрез вектори имаме предвид определен брой реални числа с определена формула, описваща тяхната скаларна сума или продукт.
3. Специален случай на евклидовото пространство е т.нар. Нулево пространство, което се получава, ако скаларната дължина на двата вектора е нула.

Евклидовото пространство има редица специфични свойства. Първо, скаларният множител може да бъде изваден от скобите както от първия, така и от втория фактор на скаларния продукт, резултатът от който няма да претърпи никакви промени. На второ място, заедно с разпределението на първия елемент на скаларния продукт, действува и разпределителността на втория елемент. Освен това, в допълнение към скаларната сума от вектори, дистрибутивността се получава и при изваждане на вектори. Накрая, трето, когато скаларното умножение на вектора с нула, резултатът също ще бъде нула.

По този начин, евклидовото пространство е най-важната геометрична концепция, използвана за решаване на проблемите с относителните положения на векторите един спрямо друг, за характеризирането на които се използва концепция като скаларен продукт.