Какво е аритметика? Основната теорема на аритметиката. Двоична аритметика

Какво е аритметика? Кога човечеството започна да използва номера и да работи с тях? Когато корените на такива обикновени понятия като цифри отиват, фракции, изваждане,

Може би аритметиката не е толкова дълбока, колкото другите науки, но какво би се случило с тях, забрави ли елементарната таблица на умножението? Обичайното логическо мислене, използвайки числа, фракции и други инструменти, не беше лесно дадено на хората и отдавна не беше на разположение на нашите предци. Всъщност, преди развитието на аритметиката, никое поле на човешко познание не беше наистина научно.

Аритметика е азбуката на математиката

Аритметика е науката за числата, с която всеки човек започва да се запознава с очарователния свят на математиката. Както каза г-н Ломоносов, аритметиката е порталът на стипендията, който ни отваря пътя към световното знание. Но той е прав, може ли знанието за света да бъде отделено от знанието за числа и писма, математика и реч? Може би в старите времена, но не и в съвременния свят, където бързото развитие на науката и технологиите диктува законите си.

Думата "аритметика" (гръцки "аритмос") от гръцки произход означава "брой". Тя изучава номера и всичко, което може да бъде свързано с тях. Това е свят на числа: различни действия цифри, цифрови правила, решаване на проблеми, които включват умножение, изваждане и т.н.

Общоприето е, че аритметиката е началната стъпка на математиката и солидна основа за по-сложните й части, като алгебра, матанализ, по-висока математика и т.н.

Основният обект на аритметиката

Базата на аритметиката е цяло число, чиито свойства и закономерности се считат за по-високи аритметични или теория на числата. Всъщност силата на цялата сграда - математиката зависи от това колко добре се прави правилният подход при разглеждането на такъв малък блок като естествено число.

Следователно, въпросът за това какво е аритметика, можете да отговорите просто: това е науката за числата. Да, за обичайните седем, девет и всичко това разнообразна общност. И както не можете да напишете добри и посредствени стихове без елементарна азбука, без аритметика, дори не можете да разрешите елементарен проблем. Ето защо всички науки са напреднали едва след развитието на аритметиката и математиката, преди всичко да са съвкупност от предположения.

Аритметично-фантомна наука

Какво е аритметика - естествена наука или фантом? В действителност, както твърдят древните гръцки философи, в реалността няма числа и цифри. Това е само фантом, който се създава в човешкото мислене, когато се разглежда околната среда с нейните процеси. Всъщност, какво е число? Никъде около ние не виждаме нещо подобно може да се нарече броя, а по-скоро на броя - това е начин да се изследват света на човешкото съзнание. И може би това е изследване на себе си отвътре? Философите се застъпват за това в продължение на много векове подред, така че не предприемаме изчерпателен отговор. Така или иначе, на средна аритметична можеше толкова здраво вземе позицията си в съвременния свят никой не може да се счита за социално адаптирани без знанието на неговите основи.

Как се е появило естествено число

Разбира се, основният обект, управляван от аритметика, е естествено число, като 1, 2, 3, 4, hellip-, 152 ... и т.н. Аритметиката на естествените числа е резултат от преброяването на обикновени обекти, например крави на поляна. И все пак определението за "много" или "малко" веднъж престана да отговаря на хората и трябваше да измислям по-добри техники за броене.

Но истински пробив се случи, когато човешката мисъл стигна до точката, че е възможно да се посочат едни и същи "два" числа и два килограма, и две тухли и две части. Фактът е, че трябва да абстрахирате от формите, свойствата и смисъла на обектите, тогава можете да правите някои действия с тези обекти под формата на естествени номера. Така се ражда аритметиката на числата, която се развива и разширява и заема все по-големи позиции в живота на обществото.

Такъв по-задълбочено понятието за брой, като нула и отрицателни числа, фракции, цифри се отнасят за номерата и по други начини, имат богата и интересна история на развитие.

Аритметични и практически египтяни

Двамата най-стари човешки спътници в изследването на околния свят и решаването на ежедневните проблеми са аритметика и геометрия.

Смята се, че историята на аритметиката произхожда от Древния Изток: в Индия, Египет, Вавилон и Китай. Така че, Ринд папирус египетски произход (наречен така, защото едно и също име, принадлежащ на собственика), датираща от ХХ век. Пр.н.е., с изключение на други ценни данни, съдържа разлагането на една фракция със сумата от фракции с различни знаменатели и числител равен на един.

Например: 2/73 = 1/60 + 1/219 + 1/292 + 1/365.

Но какъв е смисълът на толкова сложно разлагане? Фактът, че египетското подход не толерира абстрахира мислим за числа, а напротив, изчисленията са направени само за практически цели. Тоест, египтянинът ще се занимава с такива изчисления, например, само за да построи гробница. Беше необходимо да се изчисли дължината на ръба на конструкцията и това принуди човека да седна на папируса. Очевидно египетският напредък в изчисленията е бил причинен по-скоро от масивна конструкция, отколкото от любов към науката.

По тази причина изчисленията, намерени на папирий, не могат да се наричат ​​отражения върху фракциите. Най-вероятно това е практическа поръчка, която в бъдеще помогна да се решат проблемите с фракциите. Древните египтяни, които не познавали таблиците за умножение, произвеждат доста дълги изчисления, разлагани на много под-задачи. Може би това е една от тези подзадачи. Не е трудно да се види, че изчисленията с такива препарати са много трудоемки и с малка вероятност. Може би поради тази причина не виждаме големия принос на Древен Египет за развитието на математиката.

Древна Гърция и философска аритметика

Много от познанията за древния Изток са успешно овладени от древните гърци, известни любовници на абстрактни, абстрактни и философски отражения. Практиката на тях се интересува не по-малко, но е трудно да се намерят най-добрите теоретици и мислители. Това е от полза за науката, тъй като е невъзможно да се ровим в аритметика, без да я разчупваме с реалността. Разбира се, можете да умножите 10 крави и 100 литра мляко, но далеч няма да успеете.

Мислейки дълбоко гърците оставиха значителен знак в историята и техните произведения ни достигнаха:

• Евклид и "Началото".
• Питагор.
• Архимед.
• Ератостен.
• Zenon.
• Анаксагор.

И, разбира се, гърците, обръщащи всичко на философия, и по-специално последователите на питагорейския случай, бяха толкова развълнувани от номера, които смятаха, че те са тайната на хармонията на света. Номерата са изследвани и проучени, че на някои от тях и на техните двойки са приписани специални свойства. Например:

• Перфектните числа са тези, които са равни на сумата от всичките им делители, с изключение на самия брой (6 = 1 + 2 + 3).
• Приятелски номера са такива цифри, единият от които е равен на сумата от всички делители на втория и обратно (питагорейците са знаели само една такава двойка: 220 и 284).

Гърците, които вярваха, че науката трябваше да бъде обичана и да не бъде с нея в името на печалбата, постига голям успех, изследва, играе и добавя цифри. Трябва да се отбележи, че не всички техни изследвания са намерили широко приложение, някои от тях са останали само "за красота".

Източни мислители от Средновековието

По същия начин, в Средновековието, аритметиката дължи развитието си на съвременните съвременници. Индианците ни дадоха цифри, които активно използваме, такова нещо като "нула" и позиционен вариант системи за изчисляване, познати на съвременното възприятие. От ал-каша, който работи в 15-ти век в Самарканд, наследихме знака след десетичната запетая, без които е трудно да си представим модерната аритметика.

В много отношения запознаването на Европа с постиженията на Изтока стана възможно благодарение на работата на италианския учен Леонардо Фибоначи, който написа книгата "The Abacus Book", представяйки източните нововъведения. То стана крайъгълен камък на развитието на алгебра и аритметика, изследователска и научна дейност в Европа.

Руска аритметика

И накрая, аритметика, която намери своето място и вкоренена в Европа, започна да се разпространява на руските земи. Първата руска аритметика е публикувана през 1703 г. - това е книга за аритметиката на Леони Магнитски. От дълго време тя остана единственото учебно ръководство по математика. Той съдържа началните моменти на алгебра и геометрия. Цифрите, използвани в примерите, са първите в учебника по аритметика на Русия, арабски. Въпреки че арабските цифри са били срещани по-рано, на гравюри от 17-ти век.

Самата книга е украсена с образи на Архимед и Питагор, а на първия лист - изображение на аритметика под формата на жена. Тя седи на престола, под него е писано в Еврейската дума за името на Бога, и за стъпките, които водят до олтара, изписани с думата "разделение", "увеличение", "допълнение", и така нататък. Г. Човек може само да си представим каква стойност предал Такива истини, които сега се считат за обичайни.

Учебникът от 600 страници описва както основите като таблицата за добавяне и умножение, така и приложенията към навигационните науки.

Не е изненадващо, авторът е избрал образа на гръцките мислители за книгата си, защото самият той бил пленен от красотата на аритметика, като каза: "аритметика е chislitelnitsa там, любезна nezavistnoehellip;". Този подход към аритметиката е напълно оправдан, защото широкото му въвеждане може да се счита за началото на бързото развитие на научната мисъл в Русия и общото образование.

Необичайни първични номера

Основен номер е естествено число, който има само 2 положителни делители: 1 и самия. Всички останали числа, без да се брои 1, се наричат ​​композитни. Примери за prime numbers: 2, 3, 5, 7, 11 и всички останали, които нямат други делители, с изключение на числото 1 и самите тях.

Що се отнася до номер 1, той е на специална сметка - има убеждение, че то не трябва да се счита нито за просто, нито за сложно. Простият на пръв поглед прост номер крие множество нерешени загадки в себе си.

теорема на Евклид казва, че безкраен брой прости числа и Ератостен излезе със специална аритметика "сито", което елиминира сложни номера, оставяйки само прост.

Същността му е да подчертае първия неразкрит номер и в бъдеще да изтрие тези, които са многобройни за него. Повторете тази процедура много пъти и получете таблица с първокласни номера.

Основната теорема на аритметиката

Сред наблюденията върху първокласни номера трябва да споменем по специален начин основната теорема на аритметиката.

Основната теорема на аритметиката казва, че всяко цяло число по-голямо от 1 е просто или може да бъде разложено на продукт от примеси в рамките на реда на факторите по уникален начин.

Основната теорема за аритметиката се оказва доста тромава и нейното разбиране вече не е сходно с най-простите основи.

На пръв поглед първичните номера са елементарна концепция, но не е така. Физиката също така някога смята атома за елементарен, докато не намери в него цяла вселена. Красивата история на математика Дон Цагир "Първите петдесет милиона премиера" е посветена на първокласни номера.

От "три ябълки" до дедуктивни закони

Това, което наистина може да се нарече подсилена основа на цялата наука, е законите на аритметиката. Още като дете цялата аритметика лицето, изучаване на броя на краката и ръцете на куклите, броят на кубчета, ябълки и така нататък. D. Така че ние изучаваме аритметика, която след това прогресира в по-сложни правила.

Целият ни живот ни запознава с правилата на аритметиката, които са станали за обикновения човек най-полезното от всичко, което науката дава. Изучаването на номера е "аритметично-бебе", което въвежда човек в света на числата под формата на числа в ранна детска възраст.

По-високата аритметика е дедуктивна наука, която изучава законите на аритметиката. Повечето от тях знаем, въпреки че може би не знаем точните им формулировки.

Законът за добавяне и умножение

Всяко две естествено число a и b може да бъде изразено като + b, което също е естествено число. По отношение на добавянето, се прилагат следните закони:

• комутативен, който казва, че сумата не се променя от пермутацията на summands на места, или a + b = b + a.
• асоциативен, който казва, че сумата не зависи от начина на групиране на summands на места, или + (b + c) = (a + b) + c.

Правилата на аритметиката, като добавянето, са част от елементарните, но те се използват от всички науки, да не говорим за ежедневието.

Всяко естествено число a и b може да бъде изразено в продукта a * b или a * b, което също е естествено число. За продукта се прилагат същите комутативни и асоциативни закони, както за добавянето:

• a * b = b * a;
• a * (b * c) = (a * b) * в.

Интересно е, че съществува закон, който съчетава добавяне и умножение, наричано също разпределително или разпределително право:

a (b + c) = ab + ac

Този закон всъщност ни учи да работим с скоби, разкривайки ги, за да можем да работим с по-сложни формули. Това са точно законите, които ще ни отведат през странния и сложен свят на алгебра.

Законът на аритметичния ред

Законът за реда използва човешката логика всеки ден, сравнявайки часовниците и преброяването на сметките. И все пак и тя трябва да бъде формализирана под формата на конкретни формулировки.

Ако имаме два естествени числа a и b, тогава са възможни следните опции:

• а е b или a = b;
• а е по-малко от b, или a < б;
• а е по-голямо от b, или a> b.

От трите варианта само един може да бъде справедлив. Основният закон, който урежда реда, гласи: ако a < б и б < c, а след това a< в.

Съществуват и закони, свързани с реда на действие на умножаване и добавяне: ако a< b, след това a + c < b + c и ac< преди новата ера.

Законите на аритметиката ни учат да работим с числа, знаци и скоби, превръщайки всичко в хармонична симфония на числата.

Позициониращи и не-позициониращи системи за изчисляване

Можем да кажем, че цифрите са математически език, от удобството, от което зависи много. Има много системи за смятане, които, както и азбуките на различни езици, се различават един от друг.

Помислете за номерата по отношение на влиянието на позицията върху количествената стойност на цифрата на тази позиция. Например Roman система е nonpositional където всеки брой е кодирана от определен набор от специални символи: I / V / X / L / C / D / М. Те са, съответно, номерата 1/5/10/50/100/500 / 1000. В такава система цифрата не променя количествената си дефиниция, в зависимост от това какво означава: първата, втората и т.н. За да получите други числа, трябва да добавите базовите. Например:

• DCC = 700.
• НСМ = 800.

По-познатият ни номер, използващ арабски цифри, е позиционен. В такава система цифровото число определя броя на цифрите, например трицифрени числа: 333, 567 и т.н. Теглото на всеки от изпълнението зависи от позицията, на която на фигурата е една или друга, например фигура 8 във второто положение има стойност 80. Тя е типична за десетичната система, има и други позиционна система като двоичен.

Двоична аритметика

Ние сме запознати с десетичната система на изчисление, състояща се от едноцифрени числа и многоцифрени числа. Цифрата отляво с многоцифрено число е десет пъти по-голяма от тази вдясно. Така че, ние четехме 2, 17, 467 и т.н. Напълно различна логика и подход за секцията, която се нарича "двоична аритметика". Това не е изненадващо, защото двоичната аритметика не е създадена за човешката логика, а за компютъра. Ако аритметиката на числата е настъпила от броенето на обекти, които по-късно са извлекли от свойствата на обекта на "гола" аритметика, тогава това не работи с компютъра. За да могат да споделят знанията си с компютрите, човек трябваше да измисли такъв модел на изчисление.

Двоични аритметични работи с двоична азбука, която се състои само от 0 и 1. И използването на тази азбука се нарича двоична система на смятане.

Разликата между двоичната аритметика и десетичната е, че значението на позицията вляво вече не е 10, а 2 пъти. Двоичните числа имат формата 111, 1001 и т.н. Как да разберем тези номера? Така че, помислете за номер 1100:

1. Първата цифра вляво - 1 * 8 = 8, като си спомняме, че четвъртата цифра и следователно трябва да бъде умножена по 2, получаваме позиция 8.
2. Втората цифра е 1 * 4 = 4 (позиция 4).
3. Третата цифра е 0 * 2 = 0 (позиция 2).
4. Четвъртата цифра е 0 * 1 = 0 (позиция 1).
5. Така че нашият номер е 1100 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12.

Това означава, че при превключване към нова цифра вляво значението му в двоичната система се умножава по 2, а в десетичната - по 10. Тази система има едно минус: това е твърде голямо нарастване на цифрите, които са необходими за писане на номера. Примери за представяне на десетични числа във вид на двубитни могат да се видят в следната таблица.

Десетичните числа в двоична форма са показани по-долу.

Също така се използват осмоъгълни и шестнадесетични системи за изчисление.

Тази мистериозна аритметика

Какво е аритметика, "два пъти две" или неизвестни загадки на числа? Както виждате, аритметиката може да изглежда проста на пръв поглед, но нейната необяснима лекота е измамна. Може да се изучава и децата заедно с леля Сова от карикатурата "Аритметик-бебе", но можете да се потопите в дълбоко научни изследвания от почти философски ред. В историята тя отиваше от преброяването на предмети до поклонението на красотата на числата. Само едно нещо е сигурно: с установяването на основните постулати на аритметиката, цялата наука може да разчита на силното си рамо.