Кръгът на Ойлер. Кръгове Ойлер - примери в логиката

Леонард Ойлър (1707-1783) - известен швейцарски и руски математик, член на Петербургската академия на науките, прекарва по-голямата част от живота си в Русия. Най - известният в математически анализ,

Джон Вен (1834-1923) е английски философ и логик, съавтор на диаграмата "Ойлер-Вен".

Съвместими и несъвместими понятия

С понятие в логиката се разбира форма на мислене, отразяваща основните атрибути на един клас хомогенни обекти. Те са обозначени с една или група думи: "карта на света", "господстващ quintuptakkord", "понеделник" и др.

В случаите, когато елементите на обема на една концепция изцяло или частично принадлежат към обема на другата, те говорят за съвместими понятия. Ако никой елемент от обема на определена концепция не принадлежи към обема на другия, ние имаме място с несъвместими понятия.

На свой ред, всеки от типовете концепции има свой собствен набор от възможни взаимоотношения. За съвместими концепции това е следното:

• идентичност (еквивалентност) на обемите;
• пресичане (частично съвпадение) на обемите;
• подчиненост (подчиненост).

За несъвместими:

• подчинение (координация);
• Контраст (контраст);
• противоречие (kontradiktornost).

Схематично връзката между понятията в логиката обикновено се обозначава от кръговете на Ойлър-Вен.

Еквивалентни отношения

В този случай понятията означават едно и също нещо. Съответно, обемите на тези понятия напълно съвпадат. Например:

А - Зигмунд Фройд;

Б - основателят на психоанализата.

или:

А е квадрат;

В е равностранен правоъгълник;

С е конформен ромб.

За обозначението се използват напълно съвпадащите кръгове на Ойлер.

Пресечна точка (частично съвпадение)

Тази категория включва концепции, които имат общи елементи, които са свързани с пресичането. Тоест обемът на едно от понятията е частично включен в обхвата на друго:

А - учителят;

Б е любител на музиката.

Както може да се види от този пример, обхватът на понятията се припокрива: определена група учители може да се окажат любители на музиката и обратно - сред любителите на музиката могат да бъдат представители на педагогическата професия. Подобна връзка ще бъде и в случая, като концепция Актове, например, "жителите на града", а като Б - "водачът".

Подаване (подчиненост)

Схематично означени като различни по мащаби Олер кръгове. Отношенията между концепциите в този случай се характеризират с факта, че подчинената концепция (по-малка по обем) е напълно част от подчиненото (по-голямо по обем). Същевременно подчинената концепция не изчерпва изцяло подчиненото лице.

Например:

А е дърво;

B - бор.

Концепцията ще бъде подчинена на концепция А. Тъй като бор прилага за дървета, терминът А става подчиняване в този пример, "усвояването" обем концепция V.

Подчиняване (координация)

Връзката характеризира две или повече понятия, които се изключват взаимно, но принадлежат към определен общ родов кръг. Например:

А - кларинет;

B - китара;

C - цигулка;

D е музикален инструмент.

Концепциите А, В, В не се пресичат помежду си, все пак те всички принадлежат към категорията на музикалните инструменти (концепция D).

Контраст (контраст)

Противоположните отношения между понятията предполагат приписването на тези понятия на един и същ род. В този случай едно от понятията има определени свойства (атрибути), докато другият ги отрича, заменяйки противоположния текст. По този начин се занимаваме с антоними. Например:

А - джуджето;

Б - гигант.

Кръгът на Ойлер, с противоположната връзка между понятията, е разделен на три сегмента, първият от които съответства на концепцията за А, втората към концепцията за В и третата към всички други възможни понятия.

Противоречия (kontradiktornost)

В този случай двете понятия са видове от един и същи род. Както в предходния пример, едно от понятията показва някои качества (атрибути), докато другото отхвърля тях. Но за разлика от отношението на обратното, втората, противоположната концепция не замества отрицаните свойства от другите, алтернатива. Например:

А е сложен проблем;

Б е проста задача (не-А).

Изразяване на обхвата на понятията от този вид, в кръга на Ойлер е разделен на две части - една трета, посредник в този случай не съществува. По този начин понятията са и антоними. В този случай, един от тях (A) се превръща в положителен (одобряване на индикации), а второто (B или A) - отрицателен (отрича подходящ знак), "Бяла книга" - "не е бяла книга", "национална история" - "чуждестранна история" и т.н.

По този начин, съотношението на обемите на понятията във връзка един с друг е ключовата характеристика, която определя кръговете на Ойлер.

Връзки между сетове

Трябва също така да направим разграничение между концепциите на елементите и наборите, чийто обем изобразява кръговете на Ойлер. Понятието комплект е заимствано от математическите науки и има доста широк смисъл. Примери в логиката и математиката го показват като колекция от обекти. Самите предмети са елементи на даден набор. "Много са много, разбираеми като един" (Георг Кантор, основател на теорията на множествата).

Забелязва се нотация на сетове с главни букви: A, B, C, Dhellip- т.н., елементи на комплекта - главни: ... А, В, С, dhellip-и т.н. Примери на множеството студенти могат да бъдат разположени в една и съща класна стая, книги, стои на определен рафт (или, например всички книги в определена библиотека), страници в дневника, плодове в горска поляна и др.

На свой ред, ако даден набор не съдържа елементи, той се нарича празен и се обозначава с знака на Ø. Например, набор от пресечни точки паралелни прави линии, набора от решения на уравнението x² = -5.

Решаване на проблеми

За решаването на голям брой проблеми се използват активно окултните кръгове. Примерите в логиката ясно демонстрират връзката логични операции с теория на множествата. В този случай се използват таблици с концепции за истината. Например кръгът, означен с името А, е област на истината. По този начин районът извън кръга ще бъде лъжа. За да се определи зоната на диаграмата за логическа операция, е необходимо да се засенчат областите, дефиниращи кръга на Ойлер, в който нейните стойности за елементите А и Б са верни.

Използването на кръговете на Ойлер намира широко практическо приложение в различни отрасли. Например, в ситуация с професионален избор. Ако субектът е зает с избора на бъдеща професия, той може да се ръководи от следните критерии:

W - какво обичам да правя?

D - какво да получа?

P - как мога да направя добри пари?

Да си представим това под формата на диаграма: Кръговете на Ойлер (примери в логика - съотношението на пресечната точка):

Резултатът ще бъде тези професии, които ще бъдат в пресечната точка на трите кръга.

Отделно място окръзите Ойлър-Вен обитават в математиката (теория на комплектите) при изчисляване на комбинации и свойства. Кръговете на Ойлер от комплекта елементи са заградени в изображението на правоъгълника, обозначаващ универсалния комплект (U). Вместо кръгове могат да се използват и други затворени фигури, но същността на това не се променя. Цифрите се пресичат помежду си, в зависимост от условията на проблема (в най-общия случай). Също така, тези цифри трябва да бъдат съответно маркирани. Като елементите на разглежданите комплекти могат да действат точки, разположени в различни сегменти на диаграмата. Въз основа на това е възможно да се засенчат конкретни области, като по този начин се обозначават новообразуваните комплекти.

С тези множества е възможно да се изпълнят основните математически операции: добавяне (сума от множества елементи), изваждане (разлика), умножение (продукт). Освен това благодарение на схемите на Euler-Venn е възможно да се извършват операции за сравняване на множества с броя на включените в тях елементи, без да се броят.