Определението и величината на номера на Греъм

При думата "безкрайност" всеки човек има свои собствени асоциации. Мнозина черпят във въображението си морето, което излиза извън хоризонта, докато други имат картина на безкрайното звездно небе пред очите им. Безкрайността на математиката, която е свикнала да работи с числа, е съвсем различна по различен начин. Те се опитват в продължение на много векове да открият най-големите, от физическите количества, необходими за измерване. Един от тях е номерът на Греъм. Колко нули в него и за какво се използва, тази статия ще разкаже.

Безкрайно голям брой

В математиката, така наречената променлива x_п, ако за предварително определено положително число М може да се определи естествено число N така че за всички числа n по-големи от N, неравенството | x_п| > M. Все пак, никоя, например, цяло число Z не може да се счита за безкрайно голяма, тъй като винаги ще бъде по-малко от (Z + 1).

Няколко думи за "гигантите"

Най-големите числа, които имат физическо значение, се считат за:

• 10⁸⁰. Този номер, който обикновено се нарича quinquivigillillion, се приема за приблизителен брой кварки и лептони (малки частици) във Вселената.
• 1 Gugol. Такова число в десетичната система на смятането е написано като единица със 100 нули. Според някои математически модели, тъй като Големия взрив, преди експлозията на масивна черна дупка трябва да върви от 1 до 1.5 Гугол години, след което нашата вселена навлиза в последния етап на своето съществуване, т.е.. Е. Може да се предположи, че този брой е физическо което означава.
• 8.5 х 10¹⁸⁵. Константата на Планк е 1.616199 х 10^-35 m, т.е. в десетичната запетая тя изглежда като 0.00000000000000000000000000000616199 м. В 1 кубичен метър. има около 1 googol Planck дължина. Смята се, че в цялата ни вселена може да се побере около 8,5 x 10¹⁸⁵ Дължина на Планк.
• 2^{77 232 917} - 1. Това е най-големият от известните първични номера. Ако неговият двоичен запис има доста компактна форма, то тогава, за да се изобрази в десетична форма, това ще отнеме не по-малко от 13 милиона знака. Намерено е през 2017 г. в рамките на проекта да се намерят номерата на Мерсен. Ако ентусиастите продължават да работят в тази посока, тогава при сегашното ниво на развитие на компютърните технологии, в близко бъдеще те едва ли ще могат да намерят номера на Mersenne по-голям от 2^{77 232 917} - 1, въпреки че такъв щастлив човек ще получи $ 150,000.
• Gugopleks. Тук, просто вземете 1 и след това добавете нули в размер на 1 googol. Можете да напишете този номер като 10 ^ 10 ^ 100. В десетичен вид, че е невъзможно да се изобразяват, сякаш цялото пространство на Вселената запълни листа, всеки от които е от 0 до размер "vordovsky" шрифт 10, и в този случай са написани да се получи само половината от всички 0 след 1 за брой гуголплекс ,
• 10 ^ 10 ^ 10 ^ 10 ^ 10 ^ 1.1. Това е числото, показващо броя на годините, през които, според теорема на Poincare Нашата вселена в резултат на произволни квантови колебания ще се върне в състояние, близко до днес.

Как се появиха номерата на Греъм

През 1977 г. известният популяризатор на науката Мартин Гарднър в списанието Scientific American публикува бележка за доказателството на Греъм за един от проблемите на теорията на Рамзи. В него той определя границата, установена от учения, най-големият брой, използван някога в сериозните математически разсъждения.

Кой е Роналд Люис Греъм

Ученият, който вече е навършил 80 години, е роден в Калифорния. През 1962 г. Получава магистърска степен по математика в Университета в Бъркли. В продължение на 37 години работи в лабораторията на Bell и по-късно се премества в лабораториите на ATT. Ученият активно си сътрудничи с един от най-големите математици от 20-ти век Palom Erdesh и е лауреат на много престижни награди. В научната библиография на Греъм има повече от 320 научни труда.

В средата на 70-те години ученият се интересува от проблема, свързан с теорията на Рамзи. С това доказателство се определя горната граница на разтвора, което е много голямо число, последвано от името на Роналд Греъм.

Проблем с хиперкуба

За да разберете същността на номера на Греъм, първо трябва да разберете как е получил.

Ученият и колегата му Брус Ротшилд се занимават със следния проблем:

• Има n-dimensional hypercube. Всички двойки от върховете му са свързани така, че пълната графика с 2^п върхове. Всеки от краищата му е оцветен в синьо или червено. Необходимо е да се намери най-малкия брой върхове в хиперкуб, така че всяко такова оцветяване да съдържа пълен едноцветен субграф с четири върха, разположени в една равнина.

Решението

Graham и Rothschild оказа, че проблемът е разтвор Nrsquo-, отговарящи 6 ⩽ Nrsquo- ⩽N където N - е точно определена, много голям брой.

Долната граница за N впоследствие се потвърждава от други изследователи доказано, че N трябва да бъде по-голяма от или равна на 13. Така, експресията на най-малкия номер на върховете на хиперкуба отговарят на условията, посочени по-горе, получава форма 13 ⩽ Nrsquo-⩽ Н.

Избирателна нота Кнут

Преди да дадете определение за номера на Грахам, трябва да се запознаете с метода на своето символично представяне, тъй като нито десетичен нито двоичен запис е абсолютно подходящ за това.

В момента, за да се представи тази стойност, обичайно е да се използва означението на стрелката на Knuth. Според нея:

а^б= "стрелка нагоре" b.

За операцията на множествено експониране беше добавен запис:

"стрелка нагоре" стрелка нагоре b = a^б= "кула, състояща се от в количество б парчета".

И за паентацията, т.е. символното обозначаване на повторното издигане на предишния оператор, Кнут използваше три стрели.

Използвайки такава опция за номера на Греъм, имаме последователности "стрелка", вградени един в друг, в брой от 64 парчета.

мащаб

Неговият познат номер, който вълнува въображението и разширява границите на човешкия разум, го доведе отвъд вселената, Греъм и неговите колеги са го получили като горна граница за броя N на доказателство проблемите хиперкуба представени по-горе. Да си представиш колко голям е скалата му за един обикновен човек е изключително трудно.

Въпросът за броя на знаците, или понякога неправилно казано, на нули в номера на Греъм, представлява интерес за почти всеки, който първо чуе този мащаб.

Достатъчно е да кажем, че се занимаваме с бързо растяща последователност, която се състои от 64 членове. Дори не може да се предположи първият му мандат, тъй като се състои от n "кули", състоящи се от 3-k. Вече "долният етаж" от 3 тройки е 7 625 597 484 987, т.е. надхвърля 7 милиарда, което е на 64-ия етаж (не е член!). По този начин е невъзможно да се каже точно какъв е номерът на Греъм, защото за изчисляването му комбинираните възможности на всички компютри, съществуващи на Земята за днес, не са достатъчни.

Записът е ли нарушен?

В процеса на доказване на теоремата на Крускал, номерът на Греъм е "изпуснат от пиедестала". Ученият предложи следната задача:

• Има безкраен брой последни дървета. Kraskal доказа, че винаги има част от графиката, която е част от по-голямата графика и точното копие. Това твърдение не поражда никакви съмнения, тъй като е очевидно, че в безкрайността винаги има точно повтаряща се комбинация.

По-късно, Харви Фридман донякъде стесни този проблем, като се има предвид само тези ациклени графики (дървета), които са специфични за коефициента и не е повече от върховете (I + к). Той реши да разбере какъв е броят на ацикличните графики, така че с този метод на тяхната задача винаги да може да се намери такъв подтекст, който да бъде вграден в друго дърво.

В резултат на изследването по този въпрос беше установено, че N, в зависимост от k, расте с огромна скорост. По-специално, ако к = 1 тогава N = 3. Въпреки това, когато к = 2, N вече е достигнал 11. Най-красивите започва, когато к = 3. В този случай, N е бързо "лети" и достига стойност, която далеч надхвърля броя на Греъм. За да си представите колко е страхотно, достатъчно е да напишете номера, изчислен от Роналд Греъм като G64 (3). Тогава стойността на Фридман-Крускал (FinKraskal (3)) ще има ред G (G (187196)). С други думи, мега-магнитуд, който е безкрайно повече от невъобразимо голям брой Graham. В същото време, дори и това е огромен брой пъти по-малки от безкрайността. За тази концепция има смисъл да се говори по-подробно.

безкрайност

Сега, след като сме обяснили какво е числото на Греъм на пръстите ви, трябва да разберете смисъла, който е бил инвестиран и поставен в тази философска концепция. В крайна сметка "безкрайност" и "безкрайно голям брой" в определен контекст могат да се считат за еднакви.

Най-големият принос за изследването на този въпрос е направен от Аристотел. Великият мислител на древността раздели безкрайността в потенциален и действителен. Под последния той означаваше реалността на съществуването на безкрайни неща.

Според Аристотел източници на идеи за това основно понятие са:

• време;
• разделяне на количествата;
• концепцията за границата и съществуването на нещо извън нейните граници;
• неизчерпаемост на творческия характер;
• мислене, което няма граници.

В съвременната интерпретация за безкрайност няма количествена мярка, така че търсенето на най-голям брой може да продължи завинаги.

заключение

Възможно ли е да се разгледа метафората "Погледни към безкрайността" и номерът на Греъм в известен смисъл синоним? По-скоро и да и не. И двете са невъзможни да си представим, дори и с най-силното въображение. Както вече споменахме обаче, не може да се смята за "най-много, най-много". Друг въпрос е, че в момента стойностите, по-големи от граматовия номер, нямат установен физически смисъл.

В допълнение, тя няма такива свойства на безкраен брой йени, като:

• infin- + 1 = infin-;
• има безкраен брой нечетни и четни числа;
• infin- 1 = infin-;
• броят на нечетните числа е точно половината от всички числа;
• infin- + infin- = infin-;
• infin- / 2 = infin-.

За да обобщим: самият номер на Греъм голям брой в практиката на математическо доказателство, според книгата на Гинес. Има обаче числа, които са многократно по-големи от тази стойност.

Най-вероятно в бъдеще ще има нужда от още по-големи "гиганти", особено ако човек излезе извън границите на нашата слънчева система или създаде нещо невъобразимо в сегашното ниво на нашето съзнание.