Различни начини за доказване на теоремата на Питагор: примери, описание и рецензии

В един човек може да бъде сигурен сто процента, че всеки въпрос за това кой квадрат на хипотенузата е равен, всеки възрастен ще отговори смело: "Сборът от квадратите на краката". Тази теорема се е утвърдила в съзнанието на всеки образован човек, но е достатъчно просто да помолите някого да го докаже и може да има трудности. Затова нека припомним и разгледаме различни начини за доказване на питагорейската теорема.

Кратък преглед на биографията

Теоремата на Питагор е позната на почти всички, но по някаква причина биографията на човека, който го е произвела, не е толкова популярна. Това е фиксирано. Следователно, преди да изучаваме различни начини за доказване на теоремата на Питагор, трябва да се запознаем накратко с неговата личност.

Питагор - философ, математик, мислител, първоначално от Древна Гърция. Днес е много трудно да се разграничи биографията му от легендите, които се оформят в памет на този велик човек. Но както следва от писанията на неговите последователи, Питагор от Самос е роден на остров Самос. Баща му беше обикновен каменоделец, но майка му дойде от благородното семейство.

Съдейки по легендата, раждането на Питагор е предсказано от жена на име Pythia, в чиято чест те наричат ​​момчето. Според нейното прогнозиране едно родено момче трябваше да донесе много ползи и добро за човечеството. Което всъщност го направи.

Раждането на теоремата

През младостта си Питагор се премести Остров Самос в Египет, за да се срещне там с известните египетски мъдреци. След среща с тях той бил приет да учи, където научил всички големи постижения на египетската философия, математика и медицина.

Вероятно в Египет Питагор бил вдъхновен от величието и красотата на пирамидите и създал великата му теория. Това може да шокира читателите, но съвременните историци смятат, че Питагор не доказва своята теория. Той само прехвърли знанията си на последователите, които по-късно завършиха всички необходими математически изчисления.

Каквото и да е било, днес не е един от начините за доказване на тази теорема, но няколко. Днес можем само да предположим как точно древните гърци са направили своите изчисления, така че тук ние разглеждаме различни начини за доказване на питагорейската теорема.

Питагорейската теорема

Преди да започнете изчисления, трябва да разберете коя теория да докажете. Теоремата на Питагор звучи така: "В триъгълник с един от ъглите, равен на 90^за, сумата от квадратите на краката е равна на квадрата на хипотенузата. "

Общо съществуват 15 различни начина за доказване на питагорейската теорема. Това е доста голяма цифра, така че нека да обърнем внимание на най-популярните от тях.

Метод първи

Първо, да обозначим какво ни е дадено. Тези данни ще бъдат разширени до други методи за доказване на питагорейската теорема, затова си струва да помним всички налични означения.

Да предположим, че има правоъгълен триъгълник, с крака a, b и hypotenuse, равни на c. Първият начин на доказване се основава на факта, че един правоъгълник трябва да нарисува квадрат.

За да направите това, е необходимо да изчертаете сегмент, равен на катета, по дължината на крака и обратно. Това трябва да доведе до две еднакви страни на квадрата. Остава само да се нарисуват две успоредни прави линии, а квадратът е готов.

В резултат на фигурата трябва да нарисувате друг квадрат със страната, равна на хипотенузата на оригиналния триъгълник. За да направите това, от върховете ac и st трябва да нарисувате два паралелни сегмента с равни c. Така получаваме три страни на площада, единият от които е хипотенузата на оригиналния правоъгълен триъгълник. Остава само субсидирането на четвъртия сегмент.

Въз основа на получената фигура можем да заключим, че площта на външния квадрат е (a + b)². Ако погледнете вътре във фигурата, можете да видите, че в допълнение към вътрешния квадрат има четири правоъгълни триъгълника. Площта на всеки е 0.5аV.

Следователно, площта е: 4 * 0.5aв + с²= 2ав + с²

Следователно (a + b)²= 2ав + с²

И, следователно, с²= a²+в²

Теоремата е доказана.

Метод два: подобни триъгълници

Тази формула за доказване на теоремата на Питагор е получена въз основа на твърдение от геометрия на подобни триъгълници. Казва, че катетът на десния триъгълник е средно пропорционален за неговата хипотенуза и сегмент от хипотенузата, излизаща от върха на ъгъла 90^за.

Първоначалните данни остават същите, така че ще започнем веднага с доказателството. Изчертаваме перпендикулярно на страната AB сегмент от SD. Въз основа на горното изявление, триъгълните крака са:

AC = radic-AB * AD, CB = radic-AB * DV.

За да отговорим на въпроса как да доказваме питагорейската теорема, доказателството трябва да се изгради, като се отстранят двете неравенства.

AS²= AB * AD и CB²= AB * DV

Сега трябва да добавим получените неравенства.

AS²+ NE²= AB * (АД * ДВ), където АД + ДВ = АВ

Оказва се, че:

AS²+ NE²= AB * AB

И следователно:

AS²+ NE²= AB²

Доказателството за питагорейската теорема и различните начини за разрешаването й изискват многостранен подход към този проблем. Тази опция обаче е една от най-простите.

Друг метод за изчисление

Описанието на различните начини за доказване на питагорейската теорема не може да се каже за нищо, докато само вие не започнете да практикувате. Много методи осигуряват не само математически изчисления, но и изграждане на нови фигури от оригиналния триъгълник.

В този случай е необходимо да се попълни друг правоъгълен триъгълник на VSD от BC. По този начин сега има два триъгълника с обща крак BC.

Знаейки, че областите със сходни числа имат съотношение като квадратите на техните подобни линейни размери, тогава:

S_ABC * с²- S_AVD* в² = S_AVD* a²- S_IRR* a²

S_ABC* (s²-в²) = a²* (S_AVD-S_IRR)

с²-в²= a²

с²= a²+в²

Тъй като от различните методи на доказване на питагорейската теорема за степен 8 този вариант едва ли е подходящ, може да се използва следната процедура.

Най-простият начин да докажем теоремата на Питагор. Отзиви

Историците смятат, че този метод е използван за доказване на теоремата дори в древна Гърция. Това е най-простото, тъй като не изисква абсолютно никакви изчисления. Ако чертежът е начертан правилно, тогава доказателството за твърдението, че a²+в²= s² , ще се вижда ясно.

Условията за този метод ще бъдат малко по-различни от предишния. За да докажете теоремата, предположим, че правият триъгълник ABC е равнобедрен триъгълник.

Ние приемаме hypotenuse AS за страната на площада и имаме три от неговите страни. Освен това е необходимо да изчертаете две диагонални линии в резултантния квадрат. По този начин, за да получите четири равнобедрени триъгълника в него.

За краката AB и CB трябва също да имате дете в квадрата и да поставите една диагонална линия във всяка от тях. Първият ред се извежда от върха А, втората линия се извежда от C.

Сега трябва да погледнете внимателно резултата от чертежа. Тъй като има четири триъгълника на хипотенузата на АС, равна на оригиналния триъгълник и на краката по два, това показва истината на теоремата.

Между другото, благодарение на този метод за доказване на теоремата на Питагор, се появи известната фраза: "Питагорските панталони са равни във всички посоки".

Доказателство на Г. Гарфийлд

Джеймс Гарфийлд е двадесетият президент на Съединените американски щати. В допълнение, той оставил своя белег в историята като владетел на Съединените щати, той също бил надарен самоук.

В началото на кариерата си е обикновен учител в държавно училище, но скоро става директор на една от висшите учебни заведения. Желанието за самоусъвършенстване му позволява да предложи нова теория за доказателството на питагорейската теорема. Теоремата и пример за нейното решение са следните.

Първо трябва да рисувате върху лист хартия два правоъгълни триъгълника по такъв начин, че катетът на единия от тях да е продължение на втория. Върховете на тези триъгълници трябва да бъдат свързани, така че трапецът в крайна сметка да се окаже.

Както е известно, площта на трапеца е равна на произведението от половината сума от неговите основи до височината.

S = a + b / 2 * (a + b)

Ако вземем предвид получения трапец като фигура, състояща се от три триъгълника, тогава неговата площ може да се намери, както следва:

S = av / 2 * 2 + s²/ 2

Сега е необходимо да изравним двата първоначални израза

2ав / 2 + с / 2 = (а + в)²/ 2

с²= a²+в²

Теоремата на Питагор и методите за нейното доказване могат да бъдат написани не само в един том на учебника. Но има ли някакъв смисъл в това, когато това знание не може да се приложи на практика?

Практическо приложение на питагорейската теорема

За съжаление съвременните учебни програми използват тази теорема само в геометрични проблеми. Завършилите скоро ще напуснат училищните стени, без да знаят и как могат да прилагат своите знания и умения на практика.

Всъщност всеки може да използва питагорейската теорема в ежедневието си. И не само в професионалната работа, но и в обикновените вътрешни работи. Нека разгледаме няколко случая, когато питагорейската теорема и методите на нейното доказателство може да се окажат изключително необходими.

Връзката между теорема и астрономията

Изглежда, как звездите и триъгълниците могат да бъдат свързани на хартия. Всъщност, астрономията е научна област, в която широко се използва питагорейската теорема.

Например, помислете за движението на светлинния лъч в пространството. Известно е, че светлината се движи в двете посоки със същата скорост. Появява се траекторията AB, която движи лъча светлина л. И половината от времето, което светлината трябва да получи от точка А до точка Б, ще я наречемт. И скоростта на гредата - в. Оказва се, че: c * t = 1

Ако погледнем този лъч от друга равнина, например, от космическа обвивка, която се движи със скорост v, тогава с такова наблюдение на телата тяхната скорост ще се промени. В този случай дори фиксираните елементи ще се движат със скорост v в обратната посока.

Да предположим, че комиксът е плувал надясно. Тогава точките А и Б, между които се втурват лъчите, ще се преместят наляво. Освен това, когато лъчът се движи от точка А до точка Б, буква А, време, за да се движат, и, съответно, на светлината дойде нова точка C. За половината от разстоянието, на което точка А се е преместил, че е необходимо да се размножават със скоростта на кораба в половината пътуване лъч време (т ").

d = t `* v

И за да разберете докъде може да мине през този път лъч светлина, е необходимо да посочите половината път на новия бук и да получите следния израз:

s = c * t `

Ако си представим, че на мястото на светлината С и В, както и космическия кораб - е на върха на равнобедрен триъгълник, отсечката от точка А до точка на лайнера ще го раздели на две правоъгълни триъгълници. Следователно благодарение на питагорейската теорема може да се намери разстоянието, което може да премине лъч светлина.

ите² = l² + г²

Този пример, разбира се, не е най-успешният, тъй като само звената могат да имат достатъчно късмет да го пробват на практика. Затова помислете за по-светски версии на приложението на тази теорема.

Радиус на предаване на мобилни сигнали

Модерен живот е невъзможно да си представим без съществуването на смартфони. Но колко би било за тях, ако не можаха да свържат абонати чрез мобилна комуникация?

Качеството на мобилната комуникация зависи пряко от височината на антената на мобилния оператор. За да се изчисли разстоянието от мобилната кула, телефонът може да получи сигнал, можете да приложите теоремата на Питагоре.

Да предположим, че трябва да намерим приблизителната височина на стационарна кула, така че тя да може да разпространява сигнала в радиус от 200 километра.

AB (височина на кулата) = x;

BC (радиус на предаване на сигнала) = 200 км;

OS (радиус на земното кълбо) = 6380 км;

Оттук

OB = ОА + ABOV = г + х

Прилагайки теоремата на Pythagoras, ще установим, че минималната височина на кулата трябва да бъде 2,3 километра.

Питагорска теорема в ежедневието

По ирония на съдбата, питагорейската теорема може да се окаже полезна дори и в ежедневните въпроси, като например определянето на височината на килера например. На пръв поглед няма нужда да използвате такива сложни изчисления, защото просто можете да правите измервания с помощта на рулетка. Но мнозина се чудят защо в процеса на сглобяване има определени проблеми, ако всички измервания са били взети повече от точна.

Факт е, че килерът се сглобява в хоризонтално положение и едва тогава се издига и се монтира към стената. Следователно, страничната стена на шкафа по време на повдигането на конструкцията трябва да преминава свободно както по височина, така и по диагонал на помещението.

Да предположим, че има килер с дълбочина 800 мм. Разстоянието от пода до тавана е 2600 мм. Опитен производител на мебели ще каже, че височината на шкафа трябва да е с 126 мм по-малка от височината на помещението. Но защо на 126 мм? Помислете за примера.

Нека да проверим ефекта на питагорейската теорема за идеални размери на кабинета:

AC = radic-AB²+Радич-Sun²

AC = radic-2474²+800²= 2600 мм - всичко се слива.

Да предположим, че височината на шкафа не е 2474 мм, а 2505 мм. След това:

AC = radic-2505²+Radic-800²= 2629 мм.

Ето защо този шкаф не е подходящ за инсталиране в тази стая. Както при повдигане до вертикално положение, може да повредите тялото му.

Може би, като разгледахме различни начини за доказване на теоремата на Питагор от различни учени, можем да заключим, че това е повече от истинско. Сега можете да използвате получената информация в ежедневието си и да сте напълно уверени, че всички изчисления не само ще бъдат полезни, но и верни.