Изваждане на фракции с различни знаменатели. Добавяне и изваждане на обикновени фракции

Една от най-важните науки, чието приложение може да се види в такива дисциплини като химията, физиката и дори биологията, е математиката. Изучаването на тази наука ни позволява да развием някои умствени качества, да подобрим абстрактно мислене

Как да се извадят фракции, чиито знаменатели са еднакви

Фракциите са същите номера, с които можете да извършвате различни действия. Тяхната разлика от числа е в присъствието на знаменател. Ето защо, когато извършвате операции с фракции, трябва да изучите някои от техните характеристики и правила. Най-простият случай е изваждането на обикновени фракции, чиито знаменатели са представени под формата на един и същи номер. Изпълнете това действие няма да бъде трудно, ако знаете просто правило:

• За да се извади втората от тази, е необходимо да се извади числителят на фракцията, който трябва да бъде изваден от числителя на намаляващата фракция. Това число се записва в числителя на разликата и знаменателят се оставя същият: k / m - b / m = (k-b) / m.

Примери за изваждане на фракции, чиито знаменатели са еднакви

Помислете как изглежда това:

7/19 - 3/19 = (7 - 3) / 19 = 4/19.

От числителя на намаляващата фракция "7" изваждаме числителя на подрастващата фракция "3", получаваме "4". Написваме този номер в числителя на отговора и слагаме същия номер в знаменателя, който е бил в знаменателите на първата и втората част - "19".

На снимката по-долу има още няколко подобни примера.

Нека разгледаме един по-сложен пример, при който изваждаме фракции със същите знаменатели:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7) / 47 = 9/47.

От числителя на намаляващата фракция "29" числителите на всички следващи фракции са "на завои" - "3", "8", "2", "7". В резултат на това получаваме резултата "9", който пишем в числителя на отговора, а в знаменателя записваме числото, което е в знаменателите на всички тези фракции "47.

Добавяне на фракции със същия знаменател

Добавянето и изваждането от обикновени фракции се извършва съгласно същия принцип.

• За да се добавят фракции, чиито знаменатели са еднакви, трябва да се добавят числители. Полученият номер е числителят на сумата, а знаменателят остава същият: k / m + b / m = (k + b) / m.

Помислете как изглежда това:

1/4 + 2/4 = 3/4.

Към числителя на първия мандат на фракцията - "1" - добавете числителя на втория термин на фракцията - "2". Резултатът е "3" - записваме сумата на числителя и знаменателят напуска същата, която присъства във фракциите - "4".

Фракции с различни знаменатели и тяхното изваждане

Действието с фракции, които имат един и същ знаменател, вече разгледахме. Както можете да видите, знаейки простите правила, е много лесно да разрешите такива примери. Но какво ще стане, ако трябва да извършите действие с фракции, които имат различни знаменатели? Много ученици в средното училище се натъкват на такива примери. Но тук, ако знаете принципа на решаване, примерите няма да ви затруднят. Съществува и правило, без което решаването на такива фракции е просто невъзможно.

• За да се извадят фракциите с различни знаменатели, те трябва да бъдат намалени до един и същ най-нисък знаменател.

Ще говорим повече за това как да направите това.

Собственост на фракциите

За няколко фракции водят до същия знаменател, който се използва в решаване на най-важната собственост на фракции: след разделяне или умножаване на числителя и знаменателя със същия брой да се търкаля равна на тази.

Например, част от 2/3 може да има такива знаменатели като "6", "9", "12" и т.н., т.е. тя може да има формата на произволен брой, който е кратно на "3". След като числителят и знаменателят се умножат по "2", се получава част от 4/6. След като числителят и знаменателят на оригиналната фракция се умножат по "3", получаваме 6/9, а ако извършим аналогично действие с цифрата "4", получаваме 8/12. Едно уравнение може да бъде написано по следния начин:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12 ...

Как да привлечем няколко фракции към един и същ знаменател

Помислете как да прибавите няколко фракции към един и същ знаменател. Например вземете фракциите, показани на снимката по-долу. Първо, е необходимо да се определи кое число може да стане знаменател за всички от тях. За да опростим, ние разлагаме съществуващите знаменатели в мултипликатори.

Знаменателят на фракцията 1/2 и фракцията 2/3 на фактора не могат да бъдат разградени. Знаменателят 7/9 има два фактора 7/9 = 7 / (3 х 3), знаменателят на фракцията е 5/6 = 5 / (2 х 3). Сега е необходимо да се определи кои фактори ще бъдат най-малко за всички тези четири фракции. От първата фракция в знаменателя е цифрата "2", а след това трябва да присъства във всички знаменатели във фракцията 7/9 разполага с две тройни, а след това те също така трябва и двамата да присъстват в знаменателя. Вземайки предвид горното, определяме, че знаменателят се състои от три фактора: 3, 2, 3 и е равен на 3 х 2 х 3 = 18.

Помислете за първата част - 1/2. В неговия знаменател има "2", но няма нито една цифра "3", но трябва да има две. За това ние умножаваме знаменателя с две тройни, но според собствеността на фракцията трябва да умножим числителя по две тройни:
1/2 = (1 х 3 х 3) / (2 х 3 х 3) = 9/18.

По същия начин извършваме действия и с останалите фракции.

• 2/3 - знаменателят липсва една тройна и една двойка:
  2/3 = (2 х 3 х 2) / (3 х 3 х 2) = 12/18.
• 7/9 или 7 / (3 х 3) - знаменателят няма два:
  7/9 = (7 х 2) / (9 х 2) = 14/18.
• 5/6 или 5 / (2 х 3) - знаменателят няма тройна:
  5/6 = (5 х 3) / (6 х 3) = 15/18.

Всички заедно изглежда така:

Как да се изваждат и добавят фракции с различни знаменатели

Както бе споменато по-горе, за да се изпълни събирането или чрез изваждане на дроби с различни знаменатели, те трябва да доведе до общ знаменател, а след това да се възползват от правилата за изваждане на дроби с един и същ знаменател, което вече е било казано.

Обмислете това за пример: 4/18 - 3/15.

Намерени са няколко от числата 18 и 15:

• Номерът 18 се състои от 3 х 2 х 3.
• Номерът 15 се състои от 5 х 3.
• Общият брой ще се състои от следните фактори: 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

След намирането на знаменателя е необходимо да се изчисли фактор, който ще бъде различен за всяка фракция, т.е. числото, с което ще бъде необходимо да се умножи не само знаменателят, но и числителят. За това числото, което намерихме (общ брой), се делят на знаменателя на тази фракция, което трябва да определи допълнителни фактори.

• 90 разделен на 15. Полученият "6" ще бъде мултиплициращ за 3/15.
• 90 разделен на 18. Резултатът "5" ще бъде мултиплициращ за 4/18.

Следващата стъпка в решението ни е да намалим всяка фракция до знаменателя на "90".

Как се прави това, вече казахме. Помислете как е написано това в примера:

(4 х 5) / (18 х 5) - (3 х 6) / (15 х 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

Ако фракции с малки числа, тогава можете да определите общия знаменател, както в примера, показан на снимката по-долу.

По същия начин, произвеждан и добавяне на фракции, с различни знаменатели.

Изваждане и добавяне на фракции, с интегрални части

Извадихме фракциите и ги добавихме в подробности. Но как да направите изваждане, ако фракцията има цяла част? Отново се използват няколко правила:

• Всички фракции, които имат цяла част, се прехвърлят на грешните. С прости думи премахнете цялата част. За да направите това, умножете цяло число от знаменателя на фракцията, добавете резултантния продукт към числителя. Броят, който ще бъде получен след тези действия, е числителят на неправилната част. Знаменателят остава непроменен.
• Ако фракциите имат различни знаменатели, те трябва да бъдат доведени до едно и също.
• Добавете или извадете със същите знаменатели.
• Когато получите неправилна фракция, изберете цялото число.

Има и друг начин, по който можете да добавяте и изваждате фракции с цели части. За да направите това, действията се извършват отделно с цели числа и отделно действия с фракции, а резултатите се записват заедно.

Горният пример се състои от фракции, които имат един и същ знаменател. В случай, че знаменателите са различни, те трябва да бъдат доведени до едно и след това да извършат действията, както е показано в примера.

Изважда фракции от цялото число

Друг вид действие с фракции е случаят, при който фракцията трябва да бъде отнета на естествено число. На пръв поглед този пример изглежда трудно решен. Тук всичко е съвсем просто. За да го решим, е необходимо да преведем цяло число на фракция и с такъв знаменател, който присъства във фракцията, която трябва да бъде извадена. След това извършваме изваждане, аналогично на изваждането със същите знаменатели. Например тя изглежда така:

7 - 4/9 = (7 х 9) / 9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

Изваждането на фракции (6 клас), дадени в тази статия, е основа за решаване на по-сложни примери, които се разглеждат в следващите класове. Познаването на тази тема се използва впоследствие за решаване на функции, деривати и т.н. Следователно е много важно да разберете и разберете действията с фракции, разгледани по-горе.